Введение
Идеальная структура кольца
В теории колец, ветви математики, радикал кольца — это идеал, состоящий из "нежелательных" элементов кольца. Первым примером радикала был нилрадикал, введенный на основе предложения . В последующие несколько лет были открыты другие радикалы, среди которых наиболее важным является радикал Джейкобсона. Общая теория радикалов была независимо разработана и .
In ring theory, a branch of mathematics, a radical of a ring is an ideal of "not good" elements of the ring. The first example of a radical was the nilradical introduced by , based on a suggestion of In the next few years several other radicals were discovered, of which the most important example is the Jacobson radical. The general theory of radicals was defined independently by and .
Баерский радикал
Радикал Баера кольца — это пересечение всех простых идеалов кольца R. Эквивалентно, это наименьший полупростой идеал в R. Радикал Баера является нижним радикалом класса нилпотентных колец. Также он называется "нижним нилрадикалом" (и обозначается как Nil∗R), "первичным радикалом" и "радикалом Баера — МакКоя". Каждый элемент радикала Баера нильпотентен, следовательно, это нулевой идеал. Для коммутативных колец он совпадает с нилрадикалом и тесно связан с определением радикала идеала.
Верхний нильский радикал или Коте
Сумма нулевых идеалов кольца R является верхним нилрадикалом Nil*R или радикалом Кёте и представляет собой единственный наибольший нулевой идеал R. Гипотеза Кёте спрашивает, содержится ли любой левый нильный идеал в нилрадикале.
Одиночный корень
Элемент (возможно, некоммутативного кольца) называется левым сингулярным, если он аннигилирует существенный левый идеал, то есть r является левым сингулярным, если Ir = 0 для некоторого существенного левого идеала I. Множество левых сингулярных элементов кольца R является двусторонним идеалом, называемым левым сингулярным идеалом, и обозначается . Идеал N кольца R, такой что , обозначается и называется сингулярным радикалом или торсией Голди кольца R. Сингулярный радикал содержит простой радикал (нильрадикал в случае коммутативных колец), но может строго содержать его, даже в коммутативном случае. Однако сингулярный радикал ноетерианского кольца всегда нильпотентен.
Радикал Левицки
Радикал Левицки определяется как наибольший локально нильпотентный идеал, аналогичный радикалу Хирша — Плоткина в теории групп. Если кольцо является нётеровым, то радикал Левицки сам является нильпотентным идеалом, а также является единственным наибольшим левым, правым или двусторонним нильпотентным идеалом.
Регулярный радикал фон Неймана
Регулярное кольцо фон Неймана — это кольцо A (возможно, некоммутативное и без единицы), такое что для любого элемента a существует элемент b, для которого a = aba. Регулярные кольца фон Неймана образуют радикальный класс. Оно содержит каждое кольцо матриц над алгеброй с делением, но не содержит нильпотентных колец.
Артинийский радикал
Артиновский радикал обычно определяется для двусторонних нётеровских колец как сумма всех правых идеалов, являющихся артиновскими модулями. Определение симметрично относительно левой и правой стороны, и действительно порождает двусторонний идеал кольца. Этот радикал важен при изучении нётеровских колец, как описано в работах.