Явление Гиббса в рядах Фурье

Введение

Осцилляционная ошибка в рядах Фурье

В математике явление Гиббса — это колебательное поведение ряда Фурье кусочно непрерывно дифференцируемой периодической функции вблизи точки разрыва. *n*-я частичная сумма ряда Фурье функции (получаемая суммированием первых *n* гармоник ряда Фурье функции) создает большие пики вблизи разрыва, которые превышают и не доходят до значений функции. При увеличении числа гармоник, ошибка приближения стремится к пределу, составляющему около 9% величины разрыва, хотя бесконечная сумма ряда Фурье в конечном итоге сходится почти всюду (точечно сходится в точках непрерывности), за исключением точек разрыва. Явление Гиббса было обнаружено экспериментальными физиками и первоначально считалось следствием несовершенства измерительных приборов, однако это математический результат. Оно является одной из причин возникновения эффекта звона при обработке сигналов и названо в честь Джозайи Вилларда Гиббса.

Описание

Феномен Гиббса — это поведение ряда Фурье функции с разрывным скачком и описывается следующим образом: при увеличении числа членов или компонентов ряда Фурье, ряд Фурье демонстрирует первое перерегулирование в колебательном поведении вблизи точки разрыва, стремящееся к ~9% от величины (полного) скачка, и это колебание не исчезает, а сжимается к точке разрыва, так что интеграл колебаний стремится к нулю. В точке разрыва ряд Фурье выдает среднее значение пределов функции слева и справа от этой точки.

История

Феномен Гиббса был впервые замечен и проанализирован Генри Уилбрахэмом в статье 1848 года. Статья не привлекла особого внимания до 1914 года, когда она была упомянута в обзоре Генриха Буркхардта математического анализа в энциклопедии Кляйна. В 1898 году Альберт А. Микельсон разработал устройство, которое могло вычислять и повторно синтезировать ряд Фурье. Распространенный миф гласит, что при вводе коэффициентов Фурье для прямоугольной волны в машину, график колебался бы в точках разрыва, и поскольку это было физическое устройство, подверженное производственным дефектам, Микельсон был убежден, что перерегулирование было вызвано ошибками в машине. На самом деле графики, создаваемые машиной, были недостаточно качественными, чтобы четко продемонстрировать феномен Гиббса, и Микельсон, возможно, не заметил его, поскольку он не упомянул об этом эффекте в своей статье о машине или в своих последующих письмах в журнал Nature. Вдохновленный перепиской в Nature между Микельсоном и А. Э. Х. Лавом о сходимости ряда Фурье для прямоугольной волновой функции, Дж. Уиллард Гиббс опубликовал заметку в 1898 году, указав на важное различие между пределом графиков частичных сумм ряда Фурье пилообразной волны и графиком предела этих частичных сумм. В своем первом письме Гиббс не заметил феномена Гиббса, и описанный им предел для графиков частичных сумм был неточным. В 1899 году он опубликовал исправление, в котором описал перерегулирование в точке разрыва (Nature, 27 апреля 1899 г., с. 606). В 1906 году Максим Боше дал подробный математический анализ этого перерегулирования, введя термин «феномен Гиббса» и сделав его широко используемым.

Пояснение

Неформально, феномен Гиббса отражает сложность, присущую приближению разрывной функции конечным рядом непрерывных синусоидальных волн. Важно подчеркнуть слово "конечный", поскольку, хотя каждая частичная сумма ряда Фурье перескакивает вблизи каждого разрыва, который она приближает, предел суммирования бесконечного числа синусоидальных волн такого перескакивания не демонстрирует. Пики перескакивания приближаются к разрыву по мере добавления новых членов ряда, поэтому сходимость возможна. Нет противоречия (между тем, что ошибка перескакивания стремится к ненулевой высоте, даже если бесконечная сумма не имеет перескакивания), потому что пики перескакивания движутся к разрыву. Таким образом, феномен Гиббса демонстрирует поточечную, но не равномерную сходимость. Для функции, кусочно непрерывно дифференцируемой (класса C1), ряд Фурье сходится к функции во всех точках, кроме точек скачкообразного разрыва. В точках скачкообразного разрыва бесконечная сумма сходится к середине скачка (то есть к среднему значению функции по обе стороны от разрыва), как следствие теоремы Дирихле. Феномен Гиббса тесно связан с принципом, согласно которому гладкость функции определяет скорость убывания ее коэффициентов Фурье. Коэффициенты Фурье более гладких функций убывают быстрее (что приводит к более быстрой сходимости), в то время как коэффициенты Фурье разрывных функций убывают медленнее (что приводит к более медленной сходимости). Например, у разрывной прямоугольной волны коэффициенты Фурье убывают со скоростью , а у непрерывной треугольной волны – значительно быстрее. Это лишь частичное объяснение феномена Гиббса, поскольку ряд Фурье с абсолютно сходящимися коэффициентами Фурье был бы равномерно сходящимся согласно тесту Вейерштрасса M и, следовательно, не мог бы демонстрировать вышеописанное колебательное поведение. По той же причине разрывная функция не может иметь абсолютно сходящиеся коэффициенты Фурье, поскольку тогда функция была бы равномерным пределом непрерывных функций и, следовательно, была бы непрерывной, что является противоречием. См. .

Решение

Поскольку феномен Гиббса обусловлен недострелом, его можно устранить, используя ядра, которые никогда не принимают отрицательных значений, такие как ядро Фейера. На практике трудности, связанные с феноменом Гиббса, можно уменьшить, используя более гладкий метод суммирования ряда Фурье, например суммирование Фейера или суммирование Риеша, или используя сигма-аппроксимацию. При использовании непрерывного вейвлет-преобразования волновой феномен Гиббса никогда не превышает феномен Гиббса для преобразования Фурье. Кроме того, при использовании дискретного вейвлет-преобразования с базисными функциями Хаара, феномен Гиббса не возникает вовсе в случае непрерывных данных в точках разрыва, и минимален в дискретном случае в точках резкого изменения. В вейвлет-анализе это обычно называют феноменом Лонго. В задаче полиномиальной интерполяции феномен Гиббса можно ослабить, используя алгоритм S Гиббса.

Последствия

Феномен Гиббса нежелателен, поскольку он вызывает артефакты, а именно отсечение из-за перерегулирования и недорегулирования, а также артефакты в виде колебаний (звона). В случае фильтрации нижних частот эти артефакты можно уменьшить или устранить, используя различные фильтры нижних частот. В МРТ феномен Гиббса вызывает артефакты при наличии смежных областей с резко различающейся интенсивностью сигнала. Чаще всего это встречается при МРТ позвоночника, где феномен Гиббса может имитировать признаки сирингомиелии. Феномен Гиббса проявляется как артефакт в виде крестообразного рисунка в дискретном преобразовании Фурье изображения, поскольку большинство изображений (например, микрофотографий или фотографий) имеют резкий разрыв на границах сверху/снизу и слева/справа. При наложении периодических граничных условий в преобразовании Фурье этот скачкообразный разрыв представляется континуумом частот вдоль осей в частотном пространстве (то есть крестообразным рисунком интенсивности в преобразовании Фурье). Хотя в данной статье основное внимание уделяется сложности построения разрывов без артефактов во временной области, используя лишь частичный ряд Фурье, важно учитывать, что поскольку обратное преобразование Фурье чрезвычайно похоже на прямое преобразование Фурье, аналогичные трудности возникают при попытке построить разрывы в частотной области, используя только частичный ряд Фурье. Например, поскольку идеализированные фильтры типа «кирпичная стена» и прямоугольные фильтры имеют разрывы в частотной области, их точное представление во временной области требует бесконечно длинного импульсного отклика sinc-фильтра, поскольку конечный импульсный отклик приведет к появлению колебаний Гиббса в частотной характеристике вблизи частоты среза, хотя эти колебания можно уменьшить, используя оконные фильтры с конечным импульсным откликом (за счет увеличения ширины полосы затухания).