Введение
Класс кардинальных чисел
В математике предельные кардиналы — это определённые кардинальные числа. Кардинальное число λ является слабопредельным кардиналом, если λ не является ни кардиналом-последователем, ни нулём. Это означает, что λ нельзя получить из другого кардинала посредством последовательного применения операции взятия следующего кардинала. Эти кардиналы иногда называют просто «предельными кардиналами», когда контекст понятен. Кардинальное число λ является сильнопредельным кардиналом, если λ нельзя получить посредством последовательного применения операции взятия множества мощностей. Это означает, что λ не равно нулю и для всех κ < λ выполняется 2κ < λ. Любой сильнопредельный кардинал также является слабопредельным кардиналом, поскольку для любого кардинала κ выполняется κ+ ≤ 2κ, где κ+ обозначает кардинал-последователь кардинала κ. Первый бесконечный кардинал, ℵ₀ (алеф-нуль), является сильнопредельным кардиналом и, следовательно, также слабопредельным кардиналом.
In mathematics, limit cardinals are certain cardinal numbers. A cardinal number λ is a weak limit cardinal if λ is neither a successor cardinal nor zero. This means that one cannot "reach" λ from another cardinal by repeated successor operations. These cardinals are sometimes called simply "limit cardinals" when the context is clear. A cardinal λ is a strong limit cardinal if λ cannot be reached by repeated powerset operations. This means that λ is nonzero and, for all κ < λ, 2κ < λ. Every strong limit cardinal is also a weak limit cardinal, because κ+ ≤ 2κ for every cardinal κ, where κ+ denotes the successor cardinal of κ. The first infinite cardinal, (aleph naught), is a strong limit cardinal, and hence also a weak limit cardinal.
Отношения с порядковыми субскриптами
Если аксиома выбора верна, то каждое кардинальное число имеет начальный ординал. Если этот начальный ординал равен α, то кардинальное число имеет вид 2<sup>α</sup> для того же ординального индекса λ. Ординал λ определяет, является ли α слаболимитным кардиналом. Потому что если λ – ординал-последователь, то α не является слаболимитным. И наоборот, если кардинал κ является кардиналом-последователем, то есть κ = λ<sup>+</sup>, то α = λ. Таким образом, в общем случае, α является слаболимитным кардиналом тогда и только тогда, когда λ равен нулю или является предельным ординалом. Хотя ординальный индекс указывает, является ли кардинал слаболимитным, он не указывает, является ли кардинал сильнолимитным. Например, ZFC доказывает, что ω<sub>1</sub> является слаболимитным кардиналом, но не доказывает и не опровергает, что ω<sub>1</sub> является сильнолимитным кардиналом (Hrbacek and Jech 1999:168). Обобщенная гипотеза континуума утверждает, что 2<sup>κ</sup> = κ<sup>+</sup> для каждого бесконечного кардинала κ. В соответствии с этой гипотезой, понятия слаболимитных и сильнолимитных кардиналов совпадают.
Понятие недоступности и большие кардиналы
Предыдущее определяет понятие "недостижимости": мы имеем дело со случаями, когда уже недостаточно выполнить конечное число итераций операций следования и взятия булеана (power set); отсюда фраза "невозможно достичь" в обоих интуитивных определениях выше. Но "операция объединения" всегда предоставляет другой способ "доступа" к этим кардиналам (и это справедливо и для предельных ординалов). Более строгие понятия недостижимости могут быть определены с использованием кофинальности. Для слабого (соответственно, сильного) предельного кардинала κ требуется, чтобы cf(κ) = κ (т.е. κ был регулярным), так что κ нельзя представить в виде суммы (объединения) менее чем κ меньших кардиналов. Такой кардинал называется слабо (соответственно, сильно) недостижимым кардиналом. Приведенные выше примеры оба являются сингулярными кардиналами с кофинальностью ω и, следовательно, не являются недостижимыми. был бы недостижимым кардиналом обеих "степеней", если бы определение недостижимости не требовало, чтобы они были несчетными. Стандартная теория множеств Цермело-Франкеля с аксиомой выбора (ZFC) не может даже доказать непротиворечивость существования недостижимого кардинала любого из этих видов выше , из-за теоремы о неполноте Гёделя. Более конкретно, если κ слабо недостижим, то . Они образуют первый уровень в иерархии больших кардиналов.