Введение
Точка, в которой кривизна кривой меняет знак
В дифференциальном исчислении и дифференциальной геометрии точка перегиба, также называемая точкой изгиба, флексом или инфлексной точкой (редко – инфлексией), – это точка на гладкой плоской кривой, в которой кривизна меняет знак. В частности, в случае графика функции, это точка, в которой функция меняет направление выпуклости: от вогнутой (выпуклой вниз) к выпуклой (выпуклой вверх) или наоборот. Для графика функции f класса дифференцируемости C^(2) (имеющей непрерывную первую и вторую производные) точка x0 является точкой перегиба, если первая производная f'(x) и вторая производная f''(x) имеют противоположные знаки в некоторой окрестности точки x0 (Бронштейн и Семендяев, 2004, с. 231). Классификация точек перегиба
Точки перегиба также можно классифицировать в зависимости от того, равна ли вторая производная нулю или нет. Если вторая производная в точке перегиба равна нулю, то это стационарная точка перегиба; если вторая производная не равна нулю, то это нестационарная точка перегиба.
Стационарная точка перегиба не является локальным экстремумом. В более общем смысле, в контексте функций нескольких действительных переменных, стационарная точка, которая не является локальным экстремумом, называется седловой точкой. Примером стационарной точки перегиба является точка (0, 0) на графике функции y = x^3. Касательная в этой точке – ось x, пересекающая график. Примером нестационарной точки перегиба является точка (0, 0) на графике функции y = x^3 + ax, для любого ненулевого a. Касательная в начале координат – прямая y = ax, пересекающая график в этой точке.
Функции с прерывистостью
Некоторые функции меняют выпуклость, не имея точек перегиба. Вместо этого они могут менять выпуклость вблизи вертикальных асимптот или точек разрыва. Например, функция вогнута для отрицательных x и выпукла для положительных x, но не имеет точек перегиба, поскольку 0 не входит в область определения функции.
Функции с точками преломления, вторая производная которых не исчезает
Некоторые непрерывные функции имеют точку перегиба, даже если вторая производная никогда не равна 0. Например, функция кубического корня выпукла вверх при отрицательных x и выпукла вниз при положительных x, но не имеет производных любого порядка в начале координат.