Введение
16-я проблема Гильберта по топологии алгебраических кривых и поверхностей была сформулирована Дэвидом Гильбертом на Парижской конференции Международного конгресса математиков в 1900 году как часть его списка из 23 проблем в математике. Изначально проблема была представлена как "Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей" (Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen). Фактически, проблема состоит из двух схожих задач в различных областях математики: исследование взаимного расположения ветвей вещественных алгебраических кривых степени n (и аналогично для алгебраических поверхностей). Определение верхней границы для количества предельных циклов в двумерных полиномиальных векторных полях степени n и исследование их взаимного расположения. Первая задача до сих пор не решена для n = 8. Поэтому, говоря о 16-й проблеме Гильберта, обычно имеют в виду именно её в контексте вещественной алгебраической геометрии. Вторая задача также остаётся открытой: для любого n > 1 не известна верхняя граница количества предельных циклов, и именно это обычно подразумевается под 16-й проблемой Гильберта в области динамических систем. Испанское королевское математическое общество опубликовало разъяснение 16-й проблемы Гильберта.
Hilbert's 16th problem was posed by David Hilbert at the Paris conference of the International Congress of Mathematicians in 1900, as part of his list of 23 problems in mathematics. The original problem was posed as the Problem of the topology of algebraic curves and surfaces (Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen). Actually the problem consists of two similar problems in different branches of mathematics:
An investigation of the relative positions of the branches of real algebraic curves of degree n (and similarly for algebraic surfaces). The determination of the upper bound for the number of limit cycles in two dimensional polynomial vector fields of degree n and an investigation of their relative positions. The first problem is yet unsolved for n = 8. Therefore, this problem is what usually is meant when talking about Hilbert's sixteenth problem in real algebraic geometry. The second problem also remains unsolved: no upper bound for the number of limit cycles is known for any n > 1, and this is what usually is meant by Hilbert's sixteenth problem in the field of dynamical systems. The Spanish Royal Society for Mathematics published an explanation of Hilbert's sixteenth problem.
Результаты
В 1991/1992 годах Юлий Ильяшенко и Жан Экаль показали, что каждое полиномиальное векторное поле на плоскости имеет лишь конечное число предельных циклов (в статье Анри Дулака 1923 года, в которой утверждалось доказательство этого утверждения, в 1981 году была обнаружена ошибка). Это утверждение неочевидно, поскольку легко построить гладкие (C∞) векторные поля на плоскости с бесконечным числом концентрических предельных циклов. Вопрос о существовании конечной верхней границы H(n) для числа предельных циклов плоских полиномиальных векторных полей степени n остаётся открытым для любого n > 1. (H(1) = 0, поскольку линейные векторные поля не имеют предельных циклов.) Евгений Ландис и Иван Петровский заявляли о решении этой задачи в 1950-х годах, но в начале 1960-х годов было показано, что оно неверно. Известны квадратичные векторные поля на плоскости с четырьмя предельными циклами. В целом, трудности в оценке числа предельных циклов численным интегрированием связаны с наличием вложенных предельных циклов с очень узкими областями притяжения, являющимися скрытыми аттракторами, и полустабильными предельными циклами.