Введение
Математическое доказательство, связанное с постоянной пи и рациональным числом 22/7, связано с вычислением площади сектора. Доказательства математического утверждения о том, что рациональное число 22/7 больше числа пи, восходят к античности. Одно из этих доказательств, разработанное относительно недавно, но требующее лишь элементарных методов математического анализа, привлекло внимание современной математики благодаря своей математической элегантности и связи с теорией диофантовых приближений. Стивен Лукас называет это доказательство «одним из наиболее изящных результатов, связанных с приближением». Джулиан Хавил завершает обсуждение приближений с помощью непрерывных дробей этим результатом, описывая его как «невозможно не упомянуть» в данном контексте. Цель этого доказательства заключается не столько в том, чтобы убедить читателей в том, что 22/7 действительно больше пи, сколько в демонстрации этого факта; существуют систематические методы вычисления значения пи. Если известно, что пи приблизительно равно 3,14159, то из этого тривиально следует, что 22/7 (приблизительно 3,142857) больше пи. Однако, показать, что 22/7 больше пи методом, используемым в этом доказательстве, требует значительно меньше усилий, чем показать, что пи приблизительно равно 3,14159.
c
Proofs of the mathematical result that the rational number is greater than (pi) date back to antiquity. One of these proofs, more recently developed but requiring only elementary techniques from calculus, has attracted attention in modern mathematics due to its mathematical elegance and its connections to the theory of Diophantine approximations. Stephen Lucas calls this proof "one of the more beautiful results related to approximating ". Julian Havil ends a discussion of continued fraction approximations of with the result, describing it as "impossible to resist mentioning" in that context. The purpose of the proof is not primarily to convince its readers that is indeed bigger than ; systematic methods of computing the value of exist. If one knows that is approximately 3.14159, then it trivially follows that < , which is approximately 3.142857. But it takes much less work to show that < by the method used in this proof than to show that is approximately 3.14159.
Предыстория
является широко используемым диофантовым приближением числа π. Это сходящаяся дробь в простом непрерывном разложении числа π. Она больше числа π, что легко увидеть, сравнив десятичные представления этих значений:
Это приближение известно с древности. Архимед в III веке до нашей эры представил первое известное доказательство того, что 223/71 является верхней оценкой для π, хотя он, возможно, и не был первым, кто использовал это приближение. Его доказательство заключается в том, чтобы показать, что 223/71 больше отношения периметра правильного 96-угольника к диаметру описанной окружности.