Введение
Математическая теорема о функциях
В математике теорема обращения Фурье утверждает, что для многих типов функций возможно восстановить функцию из её преобразования Фурье. Интуитивно это можно представить как утверждение, что если известна вся информация о частоте и фазе волны, то исходную волну можно точно реконструировать. Теорема гласит, что если у нас есть функция, удовлетворяющая определённым условиям, и мы используем стандартное определение преобразования Фурье, то
In mathematics, the Fourier inversion theorem says that for many types of functions it is possible to recover a function from its Fourier transform. Intuitively it may be viewed as the statement that if we know all frequency and phase information about a wave then we may reconstruct the original wave precisely. The theorem says that if we have a function satisfying certain conditions, and we use the convention for the Fourier transform that
then
In other words, the theorem says that
This last equation is called the Fourier integral theorem. Another way to state the theorem is that if is the flip operator i. e. , then
The theorem holds if both and its Fourier transform are absolutely integrable (in the Lebesgue sense) and is continuous at the point However, even under more general conditions versions of the Fourier inversion theorem hold. In these cases the integrals above may not converge in an ordinary sense.
В других словах, теорема утверждает, что
In mathematics, the Fourier inversion theorem says that for many types of functions it is possible to recover a function from its Fourier transform. Intuitively it may be viewed as the statement that if we know all frequency and phase information about a wave then we may reconstruct the original wave precisely. The theorem says that if we have a function satisfying certain conditions, and we use the convention for the Fourier transform that
then
In other words, the theorem says that
This last equation is called the Fourier integral theorem. Another way to state the theorem is that if is the flip operator i. e. , then
The theorem holds if both and its Fourier transform are absolutely integrable (in the Lebesgue sense) and is continuous at the point However, even under more general conditions versions of the Fourier inversion theorem hold. In these cases the integrals above may not converge in an ordinary sense.
Это последнее уравнение называется интегральной теоремой Фурье. Другой способ сформулировать теорему заключается в том, что если – оператор разворота, то есть , то
In mathematics, the Fourier inversion theorem says that for many types of functions it is possible to recover a function from its Fourier transform. Intuitively it may be viewed as the statement that if we know all frequency and phase information about a wave then we may reconstruct the original wave precisely. The theorem says that if we have a function satisfying certain conditions, and we use the convention for the Fourier transform that
then
In other words, the theorem says that
This last equation is called the Fourier integral theorem. Another way to state the theorem is that if is the flip operator i. e. , then
The theorem holds if both and its Fourier transform are absolutely integrable (in the Lebesgue sense) and is continuous at the point However, even under more general conditions versions of the Fourier inversion theorem hold. In these cases the integrals above may not converge in an ordinary sense.
Теорема справедлива, если и функция, и её преобразование Фурье абсолютно интегрируемы (в смысле Лебега), и функция непрерывна в точке. Однако, даже при более общих условиях существуют варианты теоремы обращения Фурье. В этих случаях вышеуказанные интегралы могут не сходиться в обычном смысле.
In mathematics, the Fourier inversion theorem says that for many types of functions it is possible to recover a function from its Fourier transform. Intuitively it may be viewed as the statement that if we know all frequency and phase information about a wave then we may reconstruct the original wave precisely. The theorem says that if we have a function satisfying certain conditions, and we use the convention for the Fourier transform that
then
In other words, the theorem says that
This last equation is called the Fourier integral theorem. Another way to state the theorem is that if is the flip operator i. e. , then
The theorem holds if both and its Fourier transform are absolutely integrable (in the Lebesgue sense) and is continuous at the point However, even under more general conditions versions of the Fourier inversion theorem hold. In these cases the integrals above may not converge in an ordinary sense.
Заявление
В этом разделе мы предполагаем, что f — интегрируемая непрерывная функция. Будем использовать следующее определение преобразования Фурье:
Кроме того, мы предполагаем, что преобразование Фурье также интегрируемо.
Условия выполнения функции
При использовании в физике и инженерии теорема обращения Фурье часто применяется с предположением, что все "ведет себя корректно". В математике подобные эвристические рассуждения недопустимы, и теорема обращения Фурье содержит точное указание на класс функций, для которых она справедлива. Однако не существует "наилучшего" класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы обращения Фурье, хотя и приводящих к совместимым результатам.
Функции Шварца
Теорема обращения Фурье справедлива для всех функций Шварца (грубо говоря, это гладкие функции, убывающие достаточно быстро вместе со всеми своими производными). Это условие удобно тем, что представляет собой простое и непосредственное утверждение о самой функции (а не наложение условия на её преобразование Фурье), и интегралы, определяющие преобразование Фурье и его обратное преобразование, абсолютно интегрируемы. Эта формулировка теоремы используется при доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных обобщённых функций (см. ниже).
Интеграбельные функции с интеграбельной трансформацией Фурье
Теорема обращения Фурье справедлива для всех непрерывных функций, которые абсолютно интегрируемы (т.е. интеграл их модуля по всей области определения конечен) и имеют абсолютно интегрируемое преобразование Фурье. Это включает в себя все функции Шварца, поэтому это строго более сильная форма теоремы, чем упомянутая ранее. Это условие использовалось выше в разделе формулировок. Небольшое изменение заключается в том, чтобы отказаться от требования непрерывности функции, но сохранить требование абсолютной интегрируемости как самой функции, так и её преобразования Фурье. Тогда g равна исходной функции почти всюду, где g — непрерывная функция, и для любого ε.
Квадратно-интегральные функции
В этом случае преобразование Фурье нельзя определить непосредственно как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходимым, поэтому оно определяется с помощью аргумента о плотности (см. статью о преобразовании Фурье). Например, полагая
мы можем установить, где предел берется в норме. Обратное преобразование может быть определено с помощью плотности аналогичным образом или путем определения через преобразование Фурье и оператор обращения. В этом случае имеем
в среднеквадратичной норме. В одном измерении (и только в одном измерении) также можно показать, что оно сходится почти для всех x ∈ ℝ – это теорема Карлесона, но её доказательство значительно сложнее, чем доказательство сходимости в среднеквадратичной норме.
Темперные распределения
Трансформация Фурье может быть определена на пространстве умеренных обобщенных функций посредством двойственности трансформации Фурье на пространстве функций Шварца. В частности, для и для всех пробных функций мы устанавливаем
где определяется с использованием интегральной формулы. Если , то это совпадает с обычным определением. Обратную трансформацию можно определить либо посредством двойственности от обратной трансформации на функциях Шварца аналогичным образом, либо, определив её через оператор обращения (где оператор обращения определяется двойственностью). В этом случае имеем:
Приложения
В приложениях преобразования Фурье теорема об обратном преобразовании Фурье часто играет критическую роль. Во многих ситуациях основная стратегия заключается в применении преобразования Фурье, выполнении некоторой операции или упрощения, а затем применении обратного преобразования Фурье. В более общем виде теорема об обратном преобразовании Фурье является утверждением о преобразовании Фурье как об операторе (см. преобразование Фурье на функциональных пространствах). Например, теорема об обратном преобразовании Фурье в показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором в .