Кіріспе

Функциялар туралы математикалық теорема. Математикада Фурье инверсиясы теоремасы көптеген функция түрлері үшін олардың Фурье түрлендіруінен функцияны қалпына келтіруге мүмкіндік беретінін айтады. Интуитивті тұрғыдан қарағанда, егер толқын туралы барлық жиілік және фазалық ақпарат белгілі болса, бастапқы толқынды нақты қайта құрастыруға болады деуге болады. Теорема, егер бізде белгілі бір шарттарды қанағаттандыратын функция болса және Фурье түрлендіруі үшін стандартты белгілеуді қолдансақ, мысалы:

онда:

Басқаша айтқанда, теорема былай дейді:

Осы соңғы теңдеу Фурье интеграл теоремасы деп аталады. Теореманы тұжырымдаудың тағы бір тәсілі – егер кері оператор болса, яғни , онда:

Теорема егер және оның Фурье түрлендіргішінің екеуі де абсолютті түрде интегралданатын болса (Лебег мағынасында) және нүктесінде үздіксіз болса орындалады. Дегенмен, тіпті жалпы жағдайларда да Фурье инверсиясы теоремасының нұсқалары қолданылады. Мұндай жағдайларда жоғарыдағы интегралдар қалыпты мағынада жиналмауы мүмкін.

Айтылым

Бұл бөлімде біз функциясы интегралданатын үздіксіз функция деп есептейміз. Фурье түрлендірмесі үшін келесі конвенцияны қолданамыз:

Сонымен қатар, Фурье түрлендірмесі де интегралданатын болады деп қарастырамыз.

Функция бойынша шарттар

Физика мен инженерияда Фурье инверсиясы теоремасы көбінесе барлық нәрсе "жақсы қалыпты" деген ережемен қолданылады. Математикада мұндай шамалау аргументтеріне жол берілмейді, ал Фурье инверсиясы теоремасы қандай функциялар класына рұқсат етілетінін нақты көрсетеді. Дегенмен, қарастыруға болатын "ең жақсы" функциялар класы жоқ, сондықтан Фурье инверсиясы теоремасының бірнеше түрі бар, бірақ олардың қорытындылары үйлеседі.

Шварц функциялары

Фурье инверсия теоремасы барлық Шварц функциялары үшін қолданылады (шамамен айтқанда, тегіс, жылдам жойылатын және барлық туындылары да жылдам жойылатын функциялар). Бұл шарттың артықшылығы – ол функция туралы қарапайым, тікелей тұжырымдама болып табылады (оның Фурье түрлендіруіне талап қоюдың орнына), сондай-ақ Фурье түрлендіруін және оның кері түрлендіруін анықтайтын интегралдар абсолютті түрде интегралданады. Теореманың осы нұсқасы темперленген таралымдар үшін Фурье инверсия теоремасын дәлелдеуде қолданылады (төменде қараңыз).

Интеграцияланатын Фурье түрлендірмесінің интеграцияланатын функциялары

Фурье инверсиясы теоремасы абсолютті интегралданатын (яғни) барлық үздіксіз функцияларға, абсолютті интегралданатын Фурье трансформациясымен қатысты қолданылады. Бұл барлық Шварц функцияларын қамтиды, сондықтан бұл теореманың бұрын айтылған нұсқасынан қатаң түрде күшті түрі. Осы шарт жоғарыдағы мәлімдеме бөлімінде қолданылды. Шарттың сәл өзгеше түрі – функцияның үздіксіз болу шартын алып тастау, бірақ функцияның өзінің және оның Фурье трансформациясының абсолютті интегралданатындығын сақтау. Онда g функциясы дерлік барлық жерде үздіксіз болады, және әрбір ε үшін.

Квадраттық интегралданған функциялар

Бұл жағдайда Фурье түрлендірмесі интеграл ретінде тікелей анықталмайды, себебі ол абсолютті түрде жинақталмауы мүмкін. Сондықтан, ол тығыздық аргументі арқылы анықталады (Фурье түрлендірмесі туралы мақалаға қараңыз). Мысалы, мынаны қойсақ:

, онда шек нормасында алынады. Кері түрлендіру де тығыздық арқылы анықталуы мүмкін, немесе Фурье түрлендірмесі және кері оператор арқылы анықталады. Онда біз келесіге ие боламыз:

орташа квадраттық нормада. Бір өлшемде (және тек бір өлшемде ғана) оның дерлік барлық x∈ℝ үшін жинақталатынын көрсетуге болады – бұл Карлесон теоремасы, бірақ орташа квадраттық нормадағы жинақтылықты дәлелдеуге қарағанда әлдеқайда қиын.

Температуралы үлестірулер

Фурье түрлендірмесі, Шварц функциялары кеңістігіндегі Фурье түрлендірмесінің дуалдылығы арқылы, температураланған үлестірулер кеңістігінде анықталуы мүмкін. Атап айтқанда, және барлық сынақ функциялары үшін біз былай деп белгілейміз:

мұнда интеграл формуласы арқылы анықталған. Егер онда бұл әдеттегі анықтамамен сәйкес келеді. Біз кері түрлендіруді, Шварц функцияларындағы кері түрлендіруден дуалдық арқылы, немесе оны кері оператор (кері оператор дуалдық арқылы анықталады) арқылы анықтауымыз мүмкін. Сонда бізде бар:

Қолданбалар

Фурье түрлендіруінің қолданбаларында Фурье инверсиясы теоремасы көбінесе маңызды рөл атқарады. Көп жағдайда негізгі стратегия – Фурье түрлендірмесін қолдану, кейбір амалдарды немесе жеңілдетулерді жасау, содан кейін кері Фурье түрлендірмесін қолдану. Көбірек абстрактілі тұрғыдан алғанда, Фурье инверсиясы теоремасы – оператор ретінде Фурье түрлендіруі туралы тұжырым (функционалдық кеңістіктердегі Фурье түрлендіруіне қараңыз). Мысалы, Фурье инверсиясы теоремасы Фурье түрлендіруінің – бірлік оператор екенін көрсетеді.