Введение

Критерий стабильности в теории управления: поведение корней полиномов в общем случае.
В теории управления и теории устойчивости анализ локуса корней – это графический метод исследования изменения корней системы при варьировании определенного параметра системы, как правило, коэффициента усиления в системе с обратной связью. Это техника, используемая в качестве критерия устойчивости в области классической теории управления, разработанной Уолтером Р. Эвансом, позволяющая определять устойчивость системы. График локуса корней отображает полюса передаточной функции замкнутой системы на комплексной s-плоскости как функцию параметра усиления (см. диаграмму полюсов и нулей). В 1948 году Эванс также изобрел аналоговый компьютер для вычисления локусов корней, названный "спирулей" (от слов "спираль" и "арифмометрическая линейка"); он широко использовался до появления цифровых компьютеров.

Применение

В дополнение к определению стабильности системы, корневой локус может быть использован для проектирования коэффициента затухания (ζ) и собственной частоты (ωn) системы обратной связи. Линии постоянного коэффициента затухания можно проводить радиально от начала координат, а линии постоянной собственной частоты – в виде дуг косинуса с центрами в начале координат. Выбрав на корневом локусе точку, соответствующую желаемому коэффициенту затухания и собственной частоте, можно рассчитать коэффициент усиления K и реализовать его в контроллере. Более сложные методы проектирования контроллеров с использованием корневого локуса описаны в большинстве учебников по теории управления: например, с помощью этой методики можно приближенно спроектировать ПЗ, ПВ, ПИ, ПД и ПИД-контроллеры. Определение коэффициента затухания и собственной частоты подразумевает, что общая система обратной связи хорошо аппроксимируется системой второго порядка, то есть система имеет доминирующую пару полюсов. Это часто не соответствует действительности, поэтому рекомендуется моделировать окончательный проект, чтобы убедиться в достижении поставленных целей.

плоскость z против плоскости s

Метод корневого локуса также может использоваться для анализа систем с дискретными данными путем вычисления корневого локуса в z-плоскости, дискретного аналога s-плоскости. Уравнение отображает непрерывные полюса s-плоскости (но не нули) в z-область, где T – период дискретизации. Устойчивая, левая полуплоскость s-плоскости отображается во внутреннюю часть единичного круга z-плоскости, при этом начало координат s-плоскости соответствует |z| = 1 (поскольку e⁰ = 1). Диагональная линия постоянного затухания в s-плоскости отображается в виде спирали, начинающейся в точке (1,0) в z-плоскости, и закручивающейся к началу координат. Критерии отсчета Найквиста графически выражаются в z-плоскости осью x, где линия постоянного затухания, описанная выше, спирально закручивается бесконечно, но в системах с дискретными данными частотное содержание отсчитывается до более низких частот кратными частоте Найквиста. То есть, дискретизированный отклик проявляется как более низкая частота и лучшее затухание, поскольку корень в z-плоскости также хорошо отображается на первую петлю другой, лучше затухающей спиральной кривой постоянного затухания. Можно описать множество других интересных и значимых свойств отображения, в частности, контроллеры z-плоскости, обладающие свойством прямой реализации из передаточной функции z-плоскости (отношение нулей к полюсам многочленов), могут быть графически представлены на графике передаточной функции разомкнутого контура в z-плоскости и немедленно проанализированы с использованием корневого локуса. Поскольку корневой локус является графическим методом, основанным на углах, правила корневого локуса работают одинаково в z- и s-плоскостях. Идея корневого локуса может быть применена ко многим системам, в которых изменяется единственный параметр K. Например, полезно варьировать любой параметр системы, точное значение которого неизвестно, чтобы определить его поведение.