Введение

Классификация двумерного повторяющегося узора
Обои — это математический объект, покрывающий всю евклидову плоскость бесконечным повторением мотива, таким образом, что определенные изометрии оставляют рисунок неизменным. Каждому типу обоев соответствует группа конгруэнтных преобразований, где групповой операцией является композиция функций. Таким образом, группа обоев (или группа плоскостной симметрии, или плоскостная кристаллографическая группа) представляет собой математическую классификацию двумерного повторяющегося узора, основанную на симметриях, присутствующих в узоре. Подобные узоры часто встречаются в архитектуре и декоративном искусстве, особенно в текстиле, мозаиках, облицовочной плитке и обоях.

На этой странице называется " шаблоны " .

Любую периодическую мозаику можно рассматривать как обои. В частности, мы можем рассматривать как обои мозаику, составленную из идентичных плиток, состыкованных друг с другом, которая обязательно является периодической, и получить из нее обои, одинаково декорируя каждый элемент мозаики и, возможно, частично или полностью стирая границы между этими плитками. И наоборот, из любых обоев можно построить такую мозаику из идентичных плиток, состыкованных друг с другом, каждая из которых несет одинаковые орнаменты, при этом идентичные контуры этих плиток не обязательно видны на исходных обоях. Такие повторяющиеся границы очерчивают повторяющуюся поверхность, добавленную здесь пунктирными линиями. Количество таких псевдомозаик, связанных с данными обоями, бесконечно. Например, на рисунке 1 показаны две модели повторяющихся квадратов в двух разных положениях, которые имеют… Другой повторяющийся квадрат имеет… Мы могли бы бесконечно представлять себе такие повторяющиеся квадраты все большего и большего размера. Бесконечное количество форм повторяющихся зон возможно для этой пифагорейской мозаики, в бесконечном количестве положений на этих обоях. Например, красным цветом в правом нижнем углу рисунка 1 мы можем сдвигать его повторяющийся параллелограмм в том или ином положении. Общее для первых двух рисунков: повторяющийся квадрат, концентрический с каждой маленькой квадратной плиткой, их общий центр является точечной симметрией обоев. Между идентичными плитками, состыкованными друг с другом, край не обязательно является отрезком прямой линии. В верхнем левом углу рисунка 3 точка C является вершиной повторяющегося псевдоромба с толстыми полосами на всей его поверхности, называемого псевдоромбом из-за концентрического повторяющегося ромба, построенного из него путем удаления части поверхности где-то и добавления ее в другом месте, сохраняя при этом площадь неизменной. Аналогичным образом, на рисунке 4 из ромбической повторяющейся зоны строится повторяющийся правильный шестиугольник, заполненный вертикальными полосами. И наоборот, из элементарных геометрических плиток художник, такой как М.К. Эшер, многократно создавал привлекательные поверхности. На рисунке 2 показана минимальная площадь повторяющейся поверхности, без учета цветов, каждая повторяющаяся зона на пунктирных линиях состоит из пяти частей в определенной конфигурации и может быть либо квадратом, либо шестиугольником, как в доказательстве теоремы Пифагора. В данной статье узор — это повторяющийся параллелограмм минимальной площади в определенном положении на обоях. На рисунке 1 показаны два узора в форме параллелограмма — квадрат является частным случаем параллелограмма. На рисунке 3 показаны ромбические узоры — ромб является частным случаем параллелограмма. На этой странице все повторяющиеся узоры (минимальной площади) построены из двух сдвигов, которые генерируют группу всех сдвигов, при которых обои остаются инвариантными. С символом композиции функций в форме круга ⵔ, пара, такая как или , генерирует группу всех сдвигов, которые преобразуют пифагорейскую мозаику в саму себя.

Возможные группы, связанные с определенной моделью

Обои в целом остаются неизменными при определенных изометриях, начиная с определенных сдвигов, которые придают обоям повторяющийся характер. Одна из причин, по которой они остаются неизменными при определенных сдвигах, заключается в том, что они покрывают всю плоскость. Ни один математический объект в нашем сознании не прикреплен к неподвижной стене! Наоборот, наблюдатель или его глаз неподвижны перед преобразованием, которое сдвигает, вращает или отражает обои, и, возможно, искажает их, но это выходит за рамки рассматриваемой темы. Если изометрия оставляет данные обои неизменными, то обратная изометрия также сохраняет их неизменными, как сдвиг на изображении 1, 3 или 4, или вращение на ±120° вокруг точки, такой как S на изображении 3 или 4. Если обе изометрии обладают этим свойством – оставлять обои неизменными – то их композиция в любом порядке также обладает этим свойством. Для полноты рассмотрения понятий группы и подгрупп при композиции функций, обозначаемой символом в форме круга ⵔ, приведем традиционное математическое утверждение: все остается самим собой при тождественном преобразовании. Эту тождественную функцию можно назвать сдвигом нулевого вектора или вращением на 360°. Сдвиг может быть представлен одной или несколькими стрелками, если они параллельны, имеют одинаковую длину и направление. Аналогичным образом, обои могут быть представлены несколькими элементами рисунка или только одним, рассматриваемым как псевдоплитка, мысленно повторяющаяся без промежутков бесконечное число раз. На изображении 3 показаны два элемента рисунка с различным содержанием, а один из них, изображенный штриховыми линиями, или его образ, представляет те же обои на следующем изображении 4, если не учитывать цвета. Безусловно, цвет воспринимается субъективно, в то время как обои – это идеальный объект. Однако любой цвет можно рассматривать как метку, характеризующую определенные поверхности; например, шестнадцатеричный код цвета можно считать меткой, специфичной для определенных зон. Следует добавить, что существует известная теорема, касающаяся цветов. Группы регистрируются в каталоге путем изучения свойств параллелограмма, соединенного своими копиями. Например, его диагонали пересекаются в их общих серединах – центре и точке симметрии любого параллелограмма, не обязательно точке симметрии его содержимого. Другой пример: середина полной стороны, общей для двух элементов рисунка, является центром нового повторяющегося параллелограмма, образованного вместе, центр которого не обязательно является точкой симметрии содержимого этого двойного параллелограмма. Другие возможные точки симметрии: два элемента рисунка, симметричные друг другу относительно общей вершины, образуют вместе новую повторяющуюся поверхность, центр которой не обязательно является точкой симметрии ее содержимого. Определенные вращательные симметрии возможны только для определенных форм элементов рисунка. Например, на изображении 2 пифагорейская мозаика иногда называется мозаикой «ветряная мельница» из-за ее вращательной симметрии на 90° вокруг центра плитки – будь то маленькой или большой, или вокруг центра любой ее копии, конечно. Также, когда два равносторонних треугольника образуют ромбовидный рисунок, соединенные сторонами, как на изображении 4 или 5 (будущее изображение 5), вращательная симметрия на 120° вокруг вершины угла в 120°, образованного двумя сторонами рисунка, не всегда является точкой симметрии содержимого правильного шестиугольника, образованного тремя элементами рисунка, имеющими общую вершину, поскольку он не всегда содержит один и тот же мотив.

Симметрии узоров

Симметрия узора, в широком смысле, — это способ преобразования узора так, чтобы он выглядел точно так же после этого преобразования. Например, трансляционная симметрия проявляется, когда узор можно сдвинуть (то есть переместить) на конечное расстояние и он останется неизменным. Представьте себе сдвиг набора вертикальных полос по горизонтали на одну полосу. Узор не изменится. Строго говоря, истинная симметрия существует только в узорах, которые точно повторяются и продолжаются бесконечно. Набор, состоящий, скажем, из пяти полос, не обладает трансляционной симметрией — при сдвиге полоса на одном конце «исчезает», а на другом конце «добавляется» новая полоса. Однако на практике классификация применяется к конечным узорам, и незначительные неточности могут быть проигнорированы. Типы преобразований, которые здесь важны, называются евклидовыми изометриями плоскости. Например:

Если сдвинуть пример B на одну единицу вправо, так чтобы каждый квадрат покрывал квадрат, который изначально был смежным с ним, то полученный узор будет точно таким же, как исходный. Этот тип симметрии называется трансляцией. Примеры A и C похожи, за исключением того, что наименьшие возможные сдвиги происходят по диагонали. Если повернуть пример B по часовой стрелке на 90° вокруг центра одного из квадратов, то снова получится точно такой же узор. Это называется вращением. Примеры A и C также имеют вращения на 90°, хотя для поиска правильного центра вращения для C потребуется немного больше находчивости. Можно также отразить пример B относительно горизонтальной оси, проходящей через середину изображения. Это называется отражением. Пример B также имеет отражения относительно вертикальной оси и двух диагональных осей. То же самое можно сказать и про A. Однако пример C отличается. Он имеет отражения только в горизонтальном и вертикальном направлениях, но не относительно диагональных осей. Если отразить его относительно диагонали, то получится не тот же узор, а исходный узор, сдвинутый на определенное расстояние. Это одна из причин, по которой обойная группа A и B отличается от обойной группы C.

Еще одно преобразование — «скольжение» (Glide), комбинация отражения и трансляции параллельно линии отражения.

Формальное определение и обсуждение

В математическом плане группа обоев, или плоская кристаллографическая группа, — это тип топологически дискретной группы изометрий евклидовой плоскости, содержащая два линейно независимых сдвига. Две такие группы изометрий считаются одного типа (одной и той же группы обоев), если они совпадают с точностью до аффинного преобразования плоскости. Таким образом, например, сдвиг плоскости (а следовательно, и сдвиг зеркал и центров вращения) не влияет на группу обоев. То же самое относится к изменению угла между векторами сдвига, при условии, что это не добавляет и не удаляет никакой симметрии (это возможно только в случае отсутствия зеркал и скользящих отражений, а также если порядок вращательной симметрии не превышает 2). В отличие от трехмерного случая, можно ограничиться рассмотрением аффинных преобразований, сохраняющих ориентацию. Из теоремы Бибербаха следует, что все группы обоев различны даже как абстрактные группы (в отличие, например, от фризных групп, две из которых изоморфны Z). Двумерные узоры с двойной трансляционной симметрией можно классифицировать по типу их группы симметрии.

Изометрии евклидовой плоскости

Изометрии евклидовой плоскости делятся на четыре категории (см. статью «Изометрия евклидовой плоскости» для получения дополнительной информации). Трансляции, обозначаемые Tv, где v — вектор в R2. Это приводит к смещению плоскости на вектор смещения v. Вращения, обозначаемые Rc,θ, где c — точка в плоскости (центр вращения), а θ — угол вращения. Отражения, или зеркальные изометрии, обозначаемые FL, где L — прямая в R2. (F обозначает "отражение"). Это приводит к отражению плоскости относительно прямой L, называемой осью отражения или зеркалом. Отражения скольжения, обозначаемые GL,d, где L — прямая в R2 и d — расстояние. Это комбинация отражения относительно прямой L и трансляции вдоль L на расстояние d.

Условие независимых переводов

Условие линейно независимых трансляций означает, что существуют линейно независимые векторы v и w (в R2), такие что группа содержит как Tv, так и Tw. Цель этого условия – отличать группы обоев от групп фризов, которые обладают одной трансляцией, но не двумя линейно независимыми, и от двухмерных дискретных точечных групп, которые вообще не имеют трансляций. Иными словами, группы обоев представляют собой узоры, повторяющиеся в двух различных направлениях, в отличие от групп фризов, которые повторяются только вдоль одной оси. (Эту ситуацию можно обобщить. Например, можно изучать дискретные группы изометрий Rn с m линейно независимыми трансляциями, где m – любое целое число в диапазоне 0 ≤ m ≤ n.)

Условие дискретности

Условие дискретности означает, что существует некоторое положительное вещественное число ε, такое что для каждого сдвига Tv в группе вектор v имеет длину не меньше ε (за исключением, конечно, случая, когда v является нулевым вектором, но условие независимых сдвигов это исключает, поскольку любое множество, содержащее нулевой вектор, по определению линейно зависимо и, следовательно, недопустимо). Цель этого условия – гарантировать, что группа имеет компактную фундаментальную область, или, другими словами, «ячейку» ненулевой, конечной площади, которая повторяется на плоскости. Без этого условия можно было бы, например, иметь группу, содержащую сдвиг Tx для каждого рационального числа x, что не соответствовало бы никакому разумному узору обоев. Важным и нетривиальным следствием условия дискретности в сочетании с условием независимых сдвигов является то, что группа может содержать только вращения порядка 2, 3, 4 или 6; то есть любое вращение в группе должно быть вращением на 180°, 120°, 90° или 60°. Этот факт известен как теорема о кристаллографических ограничениях и может быть обобщен на случаи более высокой размерности.

Руководство по распознаванию групп обоев

Чтобы определить, к какой группе обоев соответствует данный узор, можно использовать следующую таблицу. Размер наименьшего угла поворота Есть ли отражение? Да Нет 360° / 6 p6m (*632) p6 (632) 360° / 4 Есть ли зеркала под углом 45°? p4 (442) Да: p4m (*442) Нет: p4g (4*2) 360° / 3 Центр вращения смещен относительно зеркал? p3 (333) Да: p31m (3*3) Нет: p3m1 (*333) 360° / 2 Есть ли перпендикулярные отражения? Есть ли отражение скольжения? Да Нет Центр вращения смещен относительно зеркал? pmg (22*) Да: pgg (22×) Нет: p2 (2222) Да: cmm (2*22) Нет: pmm (*2222) Нет Есть ли скользящая ось, смещенная относительно зеркал? Есть ли отражение скольжения? Да: cm (*×) Нет: pm (**) Да: pg (××) Нет: p1 (o)

Также ознакомьтесь с этим обзором с диаграммами.

Зависимость групп обоев от преобразований

Группа обоев узора инвариантна относительно изометрий и однородного масштабирования (преобразований подобия). Трансляционная симметрия сохраняется при произвольных биективных аффинных преобразованиях. Ротационная симметрия второго порядка, аналогично; это означает также, что центры вращения порядка 4 и 6, по крайней мере, сохраняют ротационную симметрию порядка 2. Отражение относительно прямой и скользящее отражение сохраняются при расширении/сжатии вдоль или перпендикулярно оси отражения и скользящего отражения. Это преобразует p6m, p4g и p3m1 в cmm, p3m1 в cm, а p4m, в зависимости от направления расширения/сжатия, в pmm или cmm. Узор из симметрично чередующихся рядов точек является особенным, поскольку он может быть преобразован посредством расширения/сжатия из p6m в p4m. Следует отметить, что если преобразование уменьшает симметрию, то обратное преобразование того же типа для некоторых узоров очевидно увеличивает симметрию. Такое специфическое свойство узора (например, расширение в одном направлении приводит к узору с симметрией четвертого порядка) не рассматривается как форма дополнительной симметрии. Изменение цветов не влияет на группу обоев, если любые две точки, имеющие один и тот же цвет до изменения, сохраняют тот же цвет и после изменения, и любые две точки, имеющие разные цвета до изменения, сохраняют разные цвета и после изменения. Если выполняется первое условие, но не второе, например, при преобразовании цветного изображения в черно-белое, то симметрии сохраняются, но могут увеличиваться, что приводит к изменению группы обоев.