Екі өлшемді қайталама үлгілердің жіктелуі

Кіріспе

Екі өлшемді қайталанатын үлгілердің жіктелуі. Обои – белгілі бір изометриялар суретті өзгеріссіз сақтайтын тәсілмен, шексіз қайталама мотив арқылы бүкіл Евклид жазықтығын жабатын математикалық нысан. Әрбір обои үшін конгруэнтті түрлендірулер тобы сәйкес келеді, оның топтық операциясы функциялардың композициясы болып табылады. Осылайша, обои тобы (немесе жазық симметрия тобы немесе жазық кристаллографиялық тобы) – үлгідегі симметрияға негізделген екі өлшемді қайталанатын үлгінің математикалық жіктелуі. Мұндай үлгілер архитектура мен декоративтік өнерде, әсіресе маталарда, мозаикаларда, плиткаларда және қағаз обоилерінде жиі кездеседі.

Бұл беттің атауы үлгі

Кез келген мезгілді плитканы қабырға қағазы ретінде қарастыруға болады. Әсіресе, бір-біріне тігісіп жатқан бірдей плиткалармен жасалған плитканы қабырға қағазы деп қарастыруға болады, ол міндетті түрде мезгілді болады, және оның әрбір элементін бірдей әшекейлеу арқылы қабырға қағазын жасауға болады, содан кейін осы плиткалар арасындағы шекараларды жартылай немесе толығымен жоюға болады. Керісінше, кез келген қабырға қағазынан бір-біріне тігісіп жатқан бірдей плиткалармен жасалған плитканы құруға болады, мұнда әрбір плиткада бірдей әшекейлер болады, ал осы плиткалардың бірдей контурлары түпнұсқа қабырға қағазында көрінбеуі мүмкін. Мұндай қайталанатын шекаралар қайталанатын бетті көрсетеді, олар осы жерде үзік сызықтармен белгіленген. Берілген қабырға қағазына байланысты мұндай псевдо-плиткалар саны шексіз. Мысалы, 1-суретте екі түрлі орналасқан қайталанатын квадраттардың екі моделі көрсетілген. Бұл Пифагор плиткасы үшін қайталанатын аймақтардың шексіз көп пішіндері болуы мүмкін, олар қабырға қағазында шексіз көп орналасуда кездеседі. Мысалы, 1-суреттің төменгі оң жақ бұрышында қызыл түспен көрсетілгендей, оның қайталанатын параллелограмын бір немесе басқа позицияға жылжытуға болады. Бірінші екі суретте ортақ нәрсе – әр кішкентай шаршы плитканың ортасынан өтетін концентрлі қайталанатын шаршы, олардың ортақ центрі қабырға қағазының нүктелік симметриясы болып табылады. Бір-біріне тігісіп жатқан плиткалардың жиегі міндетті түрде түзу сызықтың бөлігі болуы керек емес. 3-суреттің сол жақ жоғарғы бұрышында C нүктесі бүкіл бетінде қалың жолақтары бар қайталанатын псевдо-ромбтың төбесі болып табылады, ол псевдо-ромб деп аталады, себебі одан концентрлі қайталанатын ромб құрастырылады, оның бір бөлігі басқа жерге жылжытылып, ауданы сақталады. 4-суреттегідей, ромбтық қайталанатын аймақтан тік жолақтармен толтырылған қайталанатын дұрыс алтыбұрыш құрастырылады. Керісінше, М.С.Эшер сияқты суретшілер бір-біріне тігісіп жатқан элементарлық геометриялық плиткалардан көп рет қайталап тұратын тартымды беттер жасады. 2-суретте түстерді ескермей, қайталанатын беттің ең аз ауданы көрсетілген, әр қайталанатын аймақ белгілі бір орналасудағы бес бөліктен тұрады және Пифагор теоремасын дәлелдеудегідей, квадрат немесе алтыбұрыш болуы мүмкін. Осы мақалада үлгі – қабырға қағазындағы белгілі бір орналасқан ең аз ауданы бар қайталанатын параллелограмм. 1-суретте екі параллелограмм пішіндес үлгілер көрсетілген, ал квадрат – бұл ерекше параллелограмм. 3-суретте ромбтық үлгілер көрсетілген, ал ромб – бұл ерекше параллелограмм. Бұл беттегі барлық қайталанатын үлгілер (ең аз ауданы бар) екі трансляциядан құралады, олар қабырға қағазы инвариантты болатын барлық трансляциялар тобын тудырады. Функция композициясының шеңбер пішіндес символы ⵔ арқылы, мысалы, немесе Пифагор плиткасын өзіне айналдыратын барлық трансляциялар тобын тудыратын жұп.

Any periodic tiling can be seen as a wallpaper. More particularly, we can consider as a wallpaper a tiling by identical tiles edge‑to‑edge, necessarily periodic, and conceive from it a wallpaper by decorating in the same manner every tiling element, and eventually erase partly or entirely the boundaries between these tiles. Conversely, from every wallpaper we can construct such a tiling by identical tiles edge‑to‑edge, which bear each identical ornaments, the identical outlines of these tiles being not necessarily visible on the original wallpaper. Such repeated boundaries delineate a repetitive surface added here in dashed lines. Such pseudo‑tilings connected to a given wallpaper are in infinite number. For example image 1 shows two models of repetitive squares in two different positions, which have Another repetitive square has an We could indefinitely conceive such repetitive squares larger and larger. An infinity of shapes of repetitive zones are possible for this Pythagorean tiling, in an infinity of positions on this wallpaper. For example in red on the bottom right‑hand corner of image 1, we could glide its repetitive parallelogram in one or another position. In common on the first two images: a repetitive square concentric with each small square tile, their common center being a point symmetry of the wallpaper. Between identical tiles edge‑to‑edge, an edge is not necessarily a segment of a straight line. On the top left‑hand corner of image 3, point C is a vertex of a repetitive pseudo‑rhombus with thick stripes on its whole surface, called pseudo‑rhombus because of a concentric repetitive rhombus constructed from it by taking out a bit of surface somewhere to append it elsewhere, and keep the area unchanged. By the same process on image 4, a repetitive regular hexagon filled with vertical stripes is constructed from a rhombic repetitive zone Conversely, from elementary geometric tiles edge‑to‑edge, an artist like M. C. Escher created attractive surfaces many times repeated. On image 2, the minimum area of a repetitive surface by disregarding colors, each repetitive zone in dashed lines consisting of five pieces in a certain arrangement, to be either a square or a hexagon, like in a proof of the Pythagorean theorem. In the present article, a pattern is a repetitive parallelogram of minimal area in a determined position on the wallpaper. Image 1 shows two parallelogram‑shaped patterns — a square is a particular parallelogram —. Image 3 shows rhombic patterns — a rhombus is a particular parallelogram —. On this page, all repetitive patterns (of minimal area) are constructed from two translations that generate the group of all translations under which the wallpaper is invariant. With the circle shaped symbol ⵔ of function composition, a pair like or generates the group of all translations that transform the Pythagorean tiling into itself.

Үлгіге байланысты ықтимал топтар

Тас қағаздары белгілі бір изометриялар кезінде өзгермейді, бастапқыда аудармалар арқылы, бұл тас қағазға қайталанатын сипат береді. Кейбір аудармаларда өзгермейтін болуының себебі – бүкіл жазықтықпен жабуында. Біздің санамыздағы математикалық объектілер жылтсыз қабырғаға жабысып тұрмайды! Керісінше, бақылаушының немесе оның көзінің жылтсыз болуы, тас қағазды жылдыруға, бұруға немесе кернеуге мүмкіндік береді, бұл оны бұрмалауы мүмкін, бірақ бұл біздің тақырыбымызға қатысты емес. Егер изометрия берілген тас қағазын өзгермей қалдырса, онда кері изометрия да оны өзгермей сақтайды, мысалы, 1, 3 немесе 4-суреттегі аударма немесе 3 немесе 4-суреттегі S нүктесінің ± 120° бұрылуы. Егер екеуі де тас қағазын өзгермейтін қасиетке ие болса, онда бір немесе екінші ретте құрастырылған екі изометрия да осы қасиетке ие болады. Топтар мен кіші топтар ұғымдарын функциялық композиция арқылы, ⵔ символымен белгіленген, толық түсіну үшін математикадағы дәстүрлі шындық: барлығы сәйкестік түрлендіруі кезінде өзгермейді. Бұл сәйкестік функциясын нөлдік вектордың аудармасы немесе 360° бұрылуы деп атауға болады. Жылдыру бір немесе бірнеше жебелермен көрсетілуі мүмкін, егер олар параллель, бірдей ұзындықта және бір бағытта болса, ал тас қағазы бірнеше үлгілермен немесе тек бір үлгімен көрсетілуі мүмкін, оны шексіз көшірмелермен шетінен шетке қайталанатын псевдо-плитка ретінде қарастыруға болады. 3-суретте екі түрлі мазмұны бар екі үлгі көрсетілген, ал қою штрихты сызықтардағы үлгі немесе оның суреті келесі 4-суретте түстерді ескермей, бірдей тас қағазын көрсетеді. Әрине, түс субъективті сезім, ал тас қағазы – идеалды объект, бірақ кез келген түсті белгілі бір беттерді сипаттайтын белгі ретінде қарастыруға болады, мысалы, түс коды белгілі бір аймақтарға тән белгі ретінде. Түстерге қатысты жақсы белгілі теорема бар екенін де қосуға болады. Топтар параллелограмның қасиеттерін, оның көшірмелерімен шетінен шетке тексеру арқылы каталогқа тіркеледі. Мысалы, оның диагональдары кез келген параллелограмның ортасынан өтеді, ортасы және симметрия нүктесі, бірақ мазмұнының симметрия нүктесі міндетті емес. Басқа мысал, екі үлгіде ортақ жақ ортасы екеуінің бірігіп жасайтын жаңа қайталанатын параллелограмның ортасы болып табылады, бұл орталық бұл қос параллелограмның мазмұнының симметрия нүктесі емес. Басқа мүмкін симметрия нүктесі, екі үлгі ортақ төбесінен бір-біріне симметриялы, жаңа қайталанатын бетті құрайды, оның ортасы мазмұнының симметрия нүктесі емес. Белгілі бір бұрылу симметриясы тек белгілі бір үлгілер үшін ғана мүмкін. Мысалы, 2-суретте Пифагор плиткасы кейде шырша плиткасы деп аталады, өйткені оның кішкентай немесе үлкен плитканың ортасында немесе плитканың кез келген көшірмесінің ортасында 90 градус бұрылу симметриясы бар. Сондай-ақ, екі теңқабыршалы үшбұрыш 4 немесе 5-суреттегідей (болашақ 5-суреттегідей) шетінен шетке ромб пішінді үлгі жасағанда, 120 градус бұрылу симметриясы 120° бұрыштың төбесінде, үлгінің екі жағымен қалыптасады, әрқашан бірдей мотивті қамтымайтындықтан, үш үлгінің бірігіп төбесімен бөлісетін тұрақты алтыбұрыштың мазмұнының симметрия нүктесі бола бермейді.

A wallpaper remains on the whole unchanged under certain isometries, starting with certain translations that confer on the wallpaper a repetitive nature. One of the reasons to be unchanged under certain translations is that it covers the whole plane. No mathematical object in our minds is stuck onto a motionless wall! On the contrary an observer or his eye is motionless in front of a transformation, which glides or rotates or flips a wallpaper, eventually could distort it, but that would be out of our subject. If an isometry leaves unchanged a given wallpaper, then the inverse isometry keeps it also unchanged, like translation on image 1, 3 or 4, or a ± 120° rotation around a point like S on image 3 or 4. If they have both this property to leave unchanged a wallpaper, two isometries composed in one or the other order have then this same property to leave unchanged the wallpaper. To be exhaustive about the concepts of group and subgroups under the function composition, represented by the circle shaped symbol ⵔ, here is a traditional truism in mathematics: everything remains itself under the identity transformation. This identity function can be called translation of zero vector or rotation of 360°. A glide can be represented by one or several arrows if parallel and of same length and same sense, in same way a wallpaper can be represented either by a few patterns or by only one pattern, considered as a pseudo‑tile imagined repeated edge‑to‑edge with an infinite number of replicas. Image 3 shows two patterns with two different contents, and the one in dark dashed lines or one of its images under represents the same wallpaper on the following image 4, by disregarding the colors. Certainly a color is perceived subjectively whereas a wallpaper is an ideal object, however any color can be seen as a label that characterizes certain surfaces, we might think of a hexadecimal code of color as a label specific to certain zones. It may be added that a well‑known theorem deals with colors. Groups are registered in the catalog by examining properties of a parallelogram, edge‑to‑edge with its replicas. For example its diagonals intersect at their common midpoints, center and symmetry point of any parallelogram, not necessarily symmetry point of its content. Other example, the midpoint of a full side shared by two patterns is the center of a new repetitive parallelogram formed by the two together, center which is not necessarily symmetry point of the content of this double parallelogram. Other possible symmetry point, two patterns symmetric one to the other with respect to their common vertex form together a new repetitive surface, the center of which is not necessarily symmetry point of its content. Certain rotational symmetries are possible only for certain shapes of pattern. For example on image 2, a Pythagorean tiling is sometimes called pinwheel tilings because of its rotational symmetry of 90 degrees about the center of a tile, either small or large, or about the center of any replica of tile, of course. Also when two equilateral triangles form edge‑to‑edge a rhombic pattern, like on image 4 or 5 (future image 5), a rotational symmetry of 120 degrees about a vertex of a 120° angle, formed by two sides of pattern, is not always a symmetry point of the content of the regular hexagon formed by three patterns together sharing a vertex, because it does not always contain the same motif.

Үлгілердің симметриясы

Үлгінің симметриясы, шартты түрде айтқанда, үлгіні түрлендірудің бір жолы, сол түрлендіруден кейін үлгі дәл сол күйінде көрінеді. Мысалы, трансляциялық симметрия, егер үлгіні белгілі бір шекті қашықтыққа жылжытса (яғни, ығыстырса) және ол өзгеріссіз қалатын болса, болады. Тік жолақтар жиынтығын бір жолаққа көлденең бағытта жылжытуды елестетіңіз. Үлгі өзгермейді. Нақты айтқанда, нағыз симметрия тек қана дәл қайталанып, шексіз жалғасатын үлгілерде ғана кездеседі. Мысалы, бес жолақтан ғана тұратын жиынтықта трансляциялық симметрия болмайды – ығыстырғанда бір жағындағы жолақ «жоғалып», екінші жағына жаңа жолақ «қосылады». Бірақ практикада жіктеу шекті үлгілерге қолданылады және шағын кемшіліктер ескерілмеуі мүмкін. Мұнда маңызды түрлендірулер Евклид жазықтығының изометриялары деп аталады. Мысалы:

Егер B мысалын бір бірлікке оңға жылдырсақ, әрбір шаршы бастапқыда оған іргелес тұрған шаршының орнына келсе, нәтижедегі үлгі бастапқы үлгімен толық сәйкес келеді. Бұл симметрия түрі трансляция деп аталады. A және C мысалдары да ұқсас, бірақ ең кішкентай ығыстырулар диагональ бағыттарында болады. Егер B мысалын төртбұрыштардың ортасынан 90° сағат тілі бойынша айналдырсақ, дәл сол үлгіні аламыз. Бұл айналу деп аталады. A және C мысалдарында да 90° айналу бар, бірақ C үшін айналу центрін табуға көбірек шеберлік қажет. Сондай-ақ, B мысалын кескіннің ортасынан өтетін көлденең ось бойынша кернеуге болады. Бұл бейнелеу деп аталады. B мысалында тік ось бойынша және екі диагональ бойынша да бейнелеулер бар. Осыны A мысалына да айтуға болады. Дегенмен, C мысалы басқаша. Ол тек көлденең және тік бағыттарда бейнелеуге ие, ал диагональ осьтерінде жоқ. Диагональ бойынша кернегенде, бастапқы үлгі қайтадан пайда болмайды, бірақ бастапқы үлгі белгілі бір қашықтыққа ығыстырылады. Осы себепті A және B үлгілерінің қабырға тобы C үлгісінің қабырға тобынан өзгеше.

Тағы бір түрлендіру – «Glide» (сырғанау), ол шағылысу мен шағылысу сызығына параллель трансляцияның комбинациясы.

Ресми анықтама және талқылау

Математикалық тұрғыдан алғанда, қабырғалық топ немесе жазықтық кристаллографиялық тобы — екі сызықтық тәуелсіз трансляцияны қамтитын Евклид жазықтығының топологиялық дискретті изометриялар тобының бір түрі. Мұндай екі изометрия тобы бір типте (бірдей қабырғалық топтан) егер олар жазықтықтың аффиндік түрлендіруіне дейін бірдей болса. Демек, мысалы, жазықтықтың аударуы (соның салдарынан айналар мен айналу орталықтарының аударуы) қабырғалық топқа әсер етпейді. Бұл трансляциялық векторлар арасындағы бұрыш өзгеруі үшін де қолданылады, егер ол симметрияны қосып немесе алып тастамаса (бұл тек айналар мен жылжу шағылыстары болмаса және айналу симметриясы ең көп 2-ші реттік болса ғана). Үш өлшемді жағдайдан айырмашылығы, аффиндік түрлендірулерді бағдарды сақтайтындармен шектеуге болады. Бибербах теоремасынан барлық қабырғалық топтар тіпті абстрактіл топтар ретінде де әртүрлі (фриз топтарына қарағанда, олардың екеуі Z-бен изоморфты). Екі есе трансляциялық симметриясы бар 2D үлгілерді олардың симметриялық топ түріне сәйкес жіктеуге болады.

Евклид жазықтығының изометриясы

Евклид жазықтығының изометриялары төрт санатқа бөлінеді (толығырақ ақпарат алу үшін «Евклид жазықтығының изометриясы» мақаласын қараңыз). Трансляциялар, Tv арқылы белгіленеді, мұнда v – R2 кеңістігіндегі вектор. Бұл жазықтықты v орын ауыстыру векторы бойынша жылдыру эффектін береді. Айналымдар, Rc,θ арқылы белгіленеді, мұнда c – жазықтықтағы нүкте (айналу центрі), ал θ – айналу бұрышы. Көшулер немесе айналыс изометриялары, FL арқылы белгіленеді, мұнда L – R2 кеңістігіндегі түзу. (F – «кері айналдыру» дегенді білдіреді). Бұл жазықтықты L түзуіне қатысты кері айналдыру эффектін береді, оны кері айналдыру осі немесе байланысты айна деп атайды. GL,d арқылы белгіленетін жылжулы көшулер, мұнда L – R2 кеңістігіндегі түзу, d – қашықтық. Бұл L түзуіне қатысты кері айналдыру мен L бойымен d қашықтыққа трансляцияның комбинациясы болып табылады.

Тәуелсіз аудармалардың шарты

Сызықтық тәуелсіз трансляциялар шарты сызықтық тәуелсіз v және w векторларының (R2 ішінде) бар екенін білдіреді, сонда топта Tv және Tw болады. Бұл шарттың мақсаты – қабырға қағазы топтарын фриз топтарынан ажырату, оларда бір трансляция ғана болады, бірақ екі сызықтық тәуелсіз трансляция жоқ, сондай-ақ екі өлшемді дискретті нүктелік топтардан ажырату, оларда мүлдем трансляция болмайды. Басқаша айтқанда, қабырға қағазы топтары екі түрлі бағытта қайталануы мүмкін үлгілерді көрсетеді, ал фриз топтары тек бір ось бойымен ғана қайталанады. (Бұл жағдайды жалпылауға болады. Мысалы, Rn кеңістігіндегі m сызықтық тәуелсіз трансляциясы бар изометриялардың дискретті топтарын зерттеуге болады, мұнда m – 0 ≤ m ≤ n аралығындағы кез келген бүтін сан.)

Дискреттілік шарты

Дискреттілік шарты дегеніміз, топтағы әрбір Tv ауыстыруы үшін v векторының ұзындығы кем дегенде ε-ға тең болады (әрине, v нөлдік вектор болған жағдайда ғана, бірақ тәуелсіз ауыстырулар шарты бұған мүмкіндік бермейді, себебі нөлдік векторды қамтитын кез келген жиын анықтама бойынша сызықтық тәуелді және демек рұқсат етілмейді). Осы шарттың мақсаты – топтың ықшам негізгі доменін, яғни жазықтықта қайталанитын нөлдік емес, шекті ауданы бар "жасушаны" қамтамасыз ету. Егер бұл шарт орындалмаса, мысалы, топта әрбір рационал сан x үшін Tx ауыстыруы болуы мүмкін, бұл ешқандай дұрыс қағаз өрнегіне сәйкес келмейді. Дискреттілік шарты тәуелсіз ауыстырулар шартымен біріктірілгендегі маңызды және ерекше салдары – топта тек 2, 3, 4 немесе 6 реттік айналымдар ғана болуы мүмкін; яғни, топтағы әрбір айналым 180°, 120°, 90° немесе 60° бұрышқа айналуға тиіс. Бұл факт кристаллографиялық шектеу теоремасы деп аталады және оны жоғары өлшемді жағдайларға да қолдануға болады.

Таңбаша топтарын тануға арналған нұсқаулық

Келесі кесте берілген суреттің қай қағаз түйін тобына сәйкес келетінін анықтауға көмектеседі. Ең кішкентай бұрылу өлшемі Көрініс бар ма? Иә Жоқ 360° / 6 p6m (*632) p6 (632) 360° / 4 45° бұрышта айналар бар ма? p4 (442) Иә: p4m (*442) Жоқ: p4g (4*2) 360° / 3 Айналардың ортасынан оқшауланған орталық бар ма? p3 (333) Иә: p31m (3*3) Жоқ: p3m1 (*333) 360° / 2 Перпендикуляр көріністер бар ма? Сығу көрінісі бар ма? Иә Жоқ Айналардың ортасынан оқшауланған орталық бар ма? pmg (22*) Иә: pgg (22×) Жоқ: p2 (2222) Иә: cmm (2*22) Жоқ: pmm (*2222) Ешқайсысы да жоқ. Сығу осі айналардан оқшауланған ба? Сығу көрінісі бар ма? Иә: cm (*×) Жоқ: pm (**) Иә: pg (××) Жоқ: p1 (o)

Суреттері бар осы шолуды да қараңыз.

Қалпақ топтарының түрлендіруге тәуелділігі

Үлгінің обой тобы изометриялар мен біркелкі масштабтау (ұқсастық түрлендірулері) кезінде өзгермейді. Трансляциялық симметрия кездейсоқ биективті аффиндік түрлендірулер кезінде сақталады. Екі есе айналу симметриясы да солай; яғни, 4 және 6 есе айналу орталықтары кем дегенде 2 есе айналу симметриясын сақтайды. Сызықтағы шағылысу және жылғы шағылысу шағылысу осі бойымен немесе оған перпендикуляр бағытта кеңейту/қысқарту кезінде сақталады. Ол p6m, p4g және p3m1-ді cmm, p3m1-ді cm, ал p4m-ді кеңею/қысқарту бағытына байланысты pmm немесе cmm-ге түрлендіреді. Симметриялық түрде ығысқан нүктелер қатарының үлгісі ерекше, себебі ол кеңею/қысқарту арқылы p6m-ден p4m-ге өте алады. Егер түрлендіру симметрияны азайтатын болса, сол түрдегі (кері) түрлендіру кейбір үлгілер үшін симметрияны арттыратыны айқын. Үлгінің мұндай ерекше қасиеті (мысалы, бір бағытта кеңею 4 есе симметриялы үлгіні тудырады) қосымша симметрия түрі ретінде қарастырылмайды. Түстерді өзгерту обой тобына әсер етпейді, егер өзгерту алдында бір түсті екі нүкте болса, онда өзгертуден кейін де бірдей түске ие болса, ал өзгерту алдында әр түрлі түсті екі нүкте болса, онда өзгертуден кейін де әр түрлі түске ие болса. Егер бірінші жағдай орындалса, бірақ екіншісі орындалмаса, мысалы, түсті суретті қара-ақ түске айналдырғанда, симметриялар сақталады, бірақ олар артуы мүмкін, сондықтан обой тобы өзгеруі мүмкін.