Введение
Математическая операция
In mathematics, the Mellin transform is an integral transform that may be regarded as the multiplicative version of the two sided Laplace transform. This integral transform is closely connected to the theory of Dirichlet series, and is
often used in number theory, mathematical statistics, and the theory of asymptotic expansions; it is closely related to the Laplace transform and the Fourier transform, and the theory of the gamma function and allied special functions. The Mellin transform of a function f is
The inverse transform is
The notation implies this is a line integral taken over a vertical line in the complex plane, whose real part c need only satisfy a mild lower bound. Conditions under which this inversion is valid are given in the Mellin inversion theorem. The transform is named after the Finnish mathematician Hjalmar Mellin, who introduced it in a paper published 1897 in Acta Societatis Scientiarum Fennicæ.
В математике преобразование Меллина — это интегральное преобразование, которое можно рассматривать как мультипликативный аналог двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел, математической статистике и теории асимптотических разложений; оно тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также с теорией гамма-функции и связанных с ней специальных функций. Преобразование Меллина функции f определяется как
In mathematics, the Mellin transform is an integral transform that may be regarded as the multiplicative version of the two sided Laplace transform. This integral transform is closely connected to the theory of Dirichlet series, and is
often used in number theory, mathematical statistics, and the theory of asymptotic expansions; it is closely related to the Laplace transform and the Fourier transform, and the theory of the gamma function and allied special functions. The Mellin transform of a function f is
The inverse transform is
The notation implies this is a line integral taken over a vertical line in the complex plane, whose real part c need only satisfy a mild lower bound. Conditions under which this inversion is valid are given in the Mellin inversion theorem. The transform is named after the Finnish mathematician Hjalmar Mellin, who introduced it in a paper published 1897 in Acta Societatis Scientiarum Fennicæ.
Обратное преобразование определяется как
In mathematics, the Mellin transform is an integral transform that may be regarded as the multiplicative version of the two sided Laplace transform. This integral transform is closely connected to the theory of Dirichlet series, and is
often used in number theory, mathematical statistics, and the theory of asymptotic expansions; it is closely related to the Laplace transform and the Fourier transform, and the theory of the gamma function and allied special functions. The Mellin transform of a function f is
The inverse transform is
The notation implies this is a line integral taken over a vertical line in the complex plane, whose real part c need only satisfy a mild lower bound. Conditions under which this inversion is valid are given in the Mellin inversion theorem. The transform is named after the Finnish mathematician Hjalmar Mellin, who introduced it in a paper published 1897 in Acta Societatis Scientiarum Fennicæ.
Обозначение подразумевает, что это линейный интеграл, взятый вдоль вертикальной прямой на комплексной плоскости, вещественная часть c которой должна удовлетворять лишь слабому нижнему ограничению. Условия, при которых эта инверсия справедлива, даны в теореме об инверсии Меллина. Преобразование названо в честь финского математика Хьялмара Меллина, который представил его в статье, опубликованной в 1897 году в Acta Societatis Scientiarum Fennicæ.
In mathematics, the Mellin transform is an integral transform that may be regarded as the multiplicative version of the two sided Laplace transform. This integral transform is closely connected to the theory of Dirichlet series, and is
often used in number theory, mathematical statistics, and the theory of asymptotic expansions; it is closely related to the Laplace transform and the Fourier transform, and the theory of the gamma function and allied special functions. The Mellin transform of a function f is
The inverse transform is
The notation implies this is a line integral taken over a vertical line in the complex plane, whose real part c need only satisfy a mild lower bound. Conditions under which this inversion is valid are given in the Mellin inversion theorem. The transform is named after the Finnish mathematician Hjalmar Mellin, who introduced it in a paper published 1897 in Acta Societatis Scientiarum Fennicæ.
Экспоненциальные функции
Для , пусть . Тогда
Свойства
Свойства в этой таблице могут быть найдены в и + Свойства преобразования Меллина Функция Преобразование Меллина Фундаментальная полоса Комментарии Определение Инволюция Здесь обозначает комплексно сопряжённое к , Скалирование Сдвиг области определения является условным и требует оценки конкретного поведения сходимости. Действительно только при условии существования интеграла. Действительно только при условии существования интеграла. Мультипликативная свёртка Мультипликативная свёртка (обобщённая) Мультипликативная свёртка (обобщённая) Умножение. Действительно только при условии существования интеграла. См. теорему Парсеваля ниже для условий, обеспечивающих существование интеграла.
+ Properties of the Mellin transform Function Mellin transform Fundamental strip Comments Definition Involution Here denotes the complex conjugate of , Scaling The domain shift is conditional and requires evaluation against specific convergence behavior. Valid only if the integral exists. Valid only if the integral exists. Multiplicative convolution Multiplicative convolution (generalized) Multiplicative convolution (generalized) Multiplication. Only valid if integral exists. See Parseval's theorem below for conditions which ensure the existence of the integral.
В теории вероятности
В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределений произведений случайных величин. Если X – случайная величина, и 1=X+ = max{X,0} обозначает ее положительную часть, а 1=X− = max{−X,0} – ее отрицательную часть, то преобразование Меллина переменной X определяется как
где γ – формальная неопределённость с. Это преобразование существует для всех s в некоторой комплексной полосе, где a ≤ 0 ≤ b.
Приложения
Трансформация Меллина широко используется в информатике для анализа алгоритмов благодаря свойству масшта́бной инвариантности. Модуль преобразования Меллина масштабированной функции идентичен модулю исходной функции при чисто мнимых аргументах. Это свойство масшта́бной инвариантности аналогично свойству сдви́говой инвариантности преобразования Фурье. Модуль преобразования Фурье функции, сдвинутой во времени, идентичен модулю преобразования Фурье исходной функции. Это свойство полезно в задачах распознавания изображений. Изображение объекта легко масштабируется при перемещении объекта к камере или от неё. В квантовой механике и особенно в квантовой теории поля пространство Фурье чрезвычайно полезно и широко применяется, поскольку импульс и координата являются преобразованиями Фурье друг друга (например, диаграммы Фейнмана гораздо проще вычислять в импульсном пространстве). В 2011 году А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан, Жоао Пенедонес, Суврат Раджу и Балт ван Рис показали, что пространство Меллина играет аналогичную роль в контексте соответствия AdS/CFT.
Примеры
Формула Перрона описывает обратное преобразование Меллина, примененное к ряду Дирихле. Преобразование Меллина используется в анализе функции подсчета простых чисел и возникает в обсуждениях функции дзета Римана. Обратные преобразования Меллина часто встречаются в средних Рисса. Преобразование Меллина может быть использовано в изменении высоты тона и темпа звука.