Кіріспе
Математикалық операция. Математикада Мелин трансформациясы – екі жақты Лаплас трансформациясының көбейту түрі ретінде қарастырылатын интегралдық трансформация. Бұл интегралдық түрлендіру Дирихле қатарларының теориясымен тығыз байланысты және сандар теориясында, математикалық статистикада және асимптотикалық кеңеюлер теориясында жиі қолданылады; ол Лаплас трансформациясымен және Фурье трансформациясымен, гамма функциясы теориясымен және оған қосымша арнайы функциялармен тығыз байланысты. Функцияның f Мелин трансформациясы:
In mathematics, the Mellin transform is an integral transform that may be regarded as the multiplicative version of the two sided Laplace transform. This integral transform is closely connected to the theory of Dirichlet series, and is
often used in number theory, mathematical statistics, and the theory of asymptotic expansions; it is closely related to the Laplace transform and the Fourier transform, and the theory of the gamma function and allied special functions. The Mellin transform of a function f is
Кері трансформациясы:
Бұл белгі күрделі жазықтықтағы тік сызық бойынша алынған түзу интегралды білдіреді, оның нақты бөлігі c тек қанағаттандырылуы тиіс төменгі шек. Бұл инверсияның дұрыстығына қатысты шарттар Мелиннің инверсия теоремасында келтірілген. Бұл трансформацияны фин математигі Хьяльмар Мелин ашқан, ол оны 1897 жылы Acta Societatis Scientiarum Fennicæ журналында жариялаған мақаласында таныстырған.
Экспоненциалдық функциялар
Ал , болсын . Содан кейін
Қасиеттері
Осы кестедегі қасиеттерді мына жерде таба аласыз: + Мелин түрлендіруінің қасиеттері Функция Мелин түрлендіруі Негізгі жолақ Пікірлер Анықтамасы Инволюция Мұнда , -тің кешенді түйіндесін білдіреді. Масштабтау Домендік ауысқан шартты және нақты жинақталу қасиеттерін бағалауды талап етеді. Интеграл болған жағдайда ғана жарамды. Интеграл болған жағдайда ғана жарамды. Көбейтуге арналған конволюция Көбейтуге арналған конволюция (жалпыланған) Көбейтуге арналған конволюция (жалпыланған) Көбейту. Тек интеграл болған жағдайда ғана жарамды. Интегралдың болуын қамтамасыз ететін шарттар үшін төмендегі Парсевал теоремасын қараңыз.
+ Properties of the Mellin transform Function Mellin transform Fundamental strip Comments Definition Involution Here denotes the complex conjugate of , Scaling The domain shift is conditional and requires evaluation against specific convergence behavior. Valid only if the integral exists. Valid only if the integral exists. Multiplicative convolution Multiplicative convolution (generalized) Multiplicative convolution (generalized) Multiplication. Only valid if integral exists. See Parseval's theorem below for conditions which ensure the existence of the integral.
Ықтималдық теориясында
Ықтималдықтар теориясында Меллин трансформациясы кездейсоқ шамалардың көбейтінділерінің үлестірімдерін зерттеудегі маңызды құрал болып табылады. Егер X кездейсоқ шама болса, және 1=X+ = max{X,0} оның оң бөлігін, ал 1=X− = max{−X,0} оның теріс бөлігін көрсететін болса, онда X-тің Меллин трансформациясы былай анықталады:
мұнда γ – формальды белгісіз шама. Бұл трансформация a ≤ 0 ≤ b болатын кейбір комплекс жолақтағы барлық s үшін бар.
Қолданбалар
Мелин трансформациясы масштабтық инварианттылық қасиеттеріне байланысты алгоритмдерді талдау үшін компьютерлік ғылымда кеңінен қолданылады. Масштабталған функцияның Мелин трансформациясының модулі, таза жорамал кірістер үшін бастапқы функцияның модулімен бірдей болады. Бұл масштабтық инварианттылық қасиеті, Фурье трансформациясының жылжу инварианттылық қасиетіне ұқсас. Уақыт бойынша жылжытылған функцияның Фурье түрлендіруінің модулі, бастапқы функцияның Фурье түрлендіруінің модулімен бірдей. Бұл қасиет кескіндерді тануда пайдалы. Объект камераға жақындағанда немесе алыстағанда, оның кескіні оңай түрлендіріледі. Кванттық механикада, әсіресе кванттық өріс теориясында, Фурье кеңістігі өте пайдалы және кеңінен қолданылады, себебі импульс және координата бір-бірінің Фурье түрлендірулері болып табылады (мысалы, Фейнман диаграммаларын импульс кеңістігінде есептеу әлдеқайда оңай). 2011 жылы А. Лиам Фицпатрик, Джаред Каплан, Жоао Пенедонес, Суврат Раджу және Балт С. ван Рис Мелин кеңістігінің AdS/CFT сәйкестігі контекстінде ұқсас рөл атқаратынын көрсетті.
Мысалдар
Перрон формуласы Дирихле қатарларына қолданылатын кері Меллин түрлендірмесін сипаттайды. Меллин түрлендірмесі жай сан санын есептеу функциясын талдауда қолданылады және Риман зета-функциясы туралы әңгімелерде кездеседі. Кері Меллин түрлендірмелері көбінесе Рис орташаларында кездеседі. Меллин түрлендірмесі аудионың уақыт масштабындағы биіктігін өзгертуде қолданылуы мүмкін.