Введение

В математике пространство Серпинского — это конечное топологическое пространство, состоящее из двух точек, только одна из которых является замкнутой. Это наименьший пример топологического пространства, которое не является ни тривиальным, ни дискретным. Оно названо в честь Вацлава Серпинского. Пространство Серпинского имеет важное значение для теории вычислений и семантики, поскольку оно является классифицирующим пространством для открытых множеств в топологии Скотта.

Топологические свойства

Пространство Серпинского является частным случаем как конечной топологии частных точек (с частной точкой 1), так и конечной топологии исключенных точек (с исключенной точкой 0). Следовательно, оно обладает многими свойствами, общими с одним или обоими из этих типов топологий.

Разделение

Точки 0 и 1 топологически различимы в S, поскольку является открытым множеством, содержащим только одну из этих точек. Следовательно, S является пространством Колмогорова (T0). Однако, S не является T1, так как точка 1 не является замкнутой. Отсюда следует, что S не является хаусдорфовым, или Tn для любого n.

S не является регулярным (или вполне регулярным), поскольку точку 1 и непересекающееся замкнутое множество нельзя разделить окрестностями. (Также регулярность при наличии T0 подразумевает хаусдорфовость.) S тривиально нормально и вполне нормально, поскольку не существует непустых разделимых множеств. S не является вполне нормальным, поскольку непересекающиеся замкнутые множества и нельзя точно разделить функцией. Действительно, не может быть нуль-множеством какой-либо непрерывной функции , поскольку каждая такая функция постоянна.

Связь

Пространство Серпинского S является как гиперсвязным (поскольку каждое непустое открытое множество содержит 1), так и ультрасвязным (поскольку каждое непустое замкнутое множество содержит 0). Из этого следует, что S является связным и путь-связным. Путь от 0 до 1 в S задается функцией: и для . Функция непрерывна, поскольку множество {t ∈ I | f(t) = 0} = {0} открыто в I. Как и все конечные топологические пространства, S локально путь-связно. Пространство Серпинского является стягиваемым, поэтому фундаментальная группа S тривиальна (как и все высшие гомотопические группы).

Компактность

Как и все конечные топологические пространства, пространство Серпинского является компактным и вторично счётно. Компактное подмножество S не является замкнутым, что показывает, что компактные подмножества пространств T0 не обязаны быть замкнутыми. Любое открытое покрытие S должно содержать само S, поскольку S — единственная открытая окрестность точки 0. Следовательно, любое открытое покрытие S имеет открытое подпокрытие, состоящее из одного множества. Отсюда следует, что S полно нормально.

Другие свойства

Существует только три непрерывных отображения из S в себя: тождественное отображение и постоянные отображения в 0 и 1. Следовательно, группа гомеоморфизмов S тривиальна.

Категорическое описание

Вышеуказанная конструкция может быть удобно описана с помощью языка теории категорий. Существует контравариантный функтор из категории топологических пространств в категорию множеств, который каждому топологическому пространству сопоставляет его множество открытых множеств, а каждому непрерывному отображению – отображение прообразов.

Тогда утверждение можно сформулировать так: функтор представляется пространством Серпинского, то есть, естественно изоморфен функтору Hom, причём естественный изоморфизм определяется универсальным элементом. Это обобщается понятием предпучка.

В алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии пространство Серпинского возникает как спектр дискретного кольца оценки, например, (локализация целых чисел в простом идеале, порожденном простым числом). Общая точка, соответствующая нулевому идеалу, соответствует открытой точке 1, а специальная точка, соответствующая единственному максимальному идеалу, соответствует закрытой точке 0.