Введение

Американский математик, декан Бричина Дэвид Брайант Мамфорд (родился 11 июня 1937 года) — американский математик, известный своими работами в области алгебраической геометрии, а затем исследованиями в области теории зрения и распознавания образов. Он удостоен медали Филдса и был лауреатом премии МакАртура. В 2010 году ему была присуждена Национальная медаль в области науки. В настоящее время он является профессором-эмеритом в отделе прикладной математики Университета Брауна.

Ранние годы

Мамфорд родился в Уорте, Западный Сассекс, Англия, от английского отца и американской матери. Его отец, Уильям, основал экспериментальную школу в Танзании и работал в недавно созданных Объединенных Нациях. Он учился в Академии Филлипса Эксетера, где получил премию Westinghouse Science Talent Search за свой компьютерный проект, основанный на реле. Затем Мамфорд поступил в Гарвардский университет, где стал учеником Оскара Зариски. В Гарварде он стал лауреатом премии Путнама в 1955 и 1956 годах. Он завершил докторскую диссертацию в 1961 году, которая называлась «Существование схемы модулей для кривых любого рода». В 1959 году он женился на Эрике, писательнице и поэтессе, и у них родилось четверо детей: Стивен, Питер, Джереми и Сухитра. В настоящее время у него семеро внуков.

Работа в алгебраической геометрии

Работа Мамфорда в геометрии объединила традиционные геометрические представления с новейшими алгебраическими методами. Он опубликовал работы о модульных пространствах, с теорией, суммированной в его книге «Геометрическая инвариантная теория», об уравнениях, определяющих абелево разнообразие, и об алгебраических поверхностях. Его книги «Абелевы разновидности» (в соавторстве с К. П. Рамануджамом) и «Кривые на алгебраической поверхности» объединили старые и новые теории. Его лекционные заметки по теории схем циркулировали в течение многих лет в неопубликованном виде, и в то время, наряду с трактатом «Éléments de géométrie algébrique», являлись единственным доступным введением в эту область. Сейчас они изданы под названием «Красная книга разновидностей и схем». Другими работами, которые были менее подробно изложены, были лекции о разновидностях, определяемых квадратиками, и изучение статей Горо Шимуры 1960-х годов. Исследования Мамфорда во многом способствовали возрождению классической теории тета-функций, показав, что их алгебраическое содержание значительно и достаточно для обоснования основных частей теории посредством ссылок на конечные аналоги группы Гейзенберга. Эта работа по уравнениям, определяющим абелевы разновидности, была опубликована в 1966–1967 годах. Он также опубликовал несколько дополнительных книг, основанных на лекциях по этой теории. Кроме того, он был одним из основателей теории тороидального вложения и стремился применять эту теорию к методам, основанным на базисах Грёбнера, через своих студентов, работавших в области алгебраических вычислений.

Работа над патологиями в алгебраической геометрии

В серии из четырех статей, опубликованных в «Американском журнале математики» в период с 1961 по 1975 год, Мамфорд исследовал патологическое поведение в алгебраической геометрии, то есть явления, которые не возникают, если алгебраическая геометрия вела бы себя так, как можно было бы ожидать, исходя из рассмотрения простейших примеров. Эти патологии можно разделить на два типа: (а) нежелательное поведение в характеристике p и (b) нежелательное поведение в пространствах модулей.

Патологии модульных пространств

В своей второй работе "Патологии" Мамфорд обнаруживает, что схема Гильберта, параметризующая пространственные кривые 14-й степени и рода 24, имеет множество компонент. В четвертой работе "Патологии" он находит редуцированные и неприводимые полные кривые, которые не являются специализациями несингулярных кривых. Подобные патологии первоначально считались довольно редкими. Однако Рави Вакил в своей статье "Закон Мерфи в алгебраической геометрии" показал, что схемы Гильберта для "хороших" геометрических объектов могут быть сколь угодно "плохими", иметь неограниченное число компонент и сколь угодно большие кратности (Invent. Math. 164 (2006), 569–590).

Классификация поверхностей

В трех работах, написанных в период с 1969 по 1976 год (последние две в сотрудничестве с Энрико Бомбиери), Мамфорд расширил классификацию Энрикеса — Кодайры гладких проективных поверхностей с случая комплексного поля на случай алгебраически замкнутого поля характеристики *p*. Окончательный результат оказывается по существу таким же, как и в комплексном случае (хотя используемые методы иногда существенно отличаются), после внесения двух важных поправок. Первая заключается в том, что могут возникать «неклассические» поверхности, появляющиеся при вырождении *p*-кручения в схеме Пикара в нередуцированную групповую схему. Вторая — возможность получения квазиэллиптических поверхностей в характеристиках два и три. Это поверхности, расслоенные над кривой, где общее волокно является кривой арифметического рода один с острием. После внесения этих поправок поверхности делятся на четыре класса по размерности Кодайры, как и в комплексном случае. Эти четыре класса:
a) Размерность Кодайры минус бесконечность. Это расслоенные поверхности. b) Размерность Кодайры 0. Это поверхности K3, абелевы поверхности, гипереллиптические и квазигипереллиптические поверхности, а также поверхности Энрикеса. В последних двух случаях нулевой размерности Кодайры существуют как классические, так и неклассические примеры. c) Размерность Кодайры 1. Это эллиптические и квазиэллиптические поверхности, не входящие в две последние группы. d) Размерность Кодайры 2. Это поверхности общего типа.