Введение

Поток, обусловленный разностью плотности и гравитацией

В динамике жидкостей гравитационный или плотностной ток – это преимущественно горизонтальный поток в гравитационном поле, обусловленный разностью плотности жидкости или жидкостей и ограниченный в горизонтальном направлении, например, потолком. Обычно разность плотности достаточно мала для применимости приближения Буссинека. Гравитационные токи могут быть как конечными по объему, например, пирокластический поток при извержении вулкана, так и непрерывно поступающими из источника, например, теплый воздух, выходящий из открытой двери дома зимой. Другие примеры включают пыльные бури, турбидные течения, лавины, сбросы сточных или промышленных вод в реки, или речной сток в океан. Гравитационные токи обычно значительно длиннее, чем высоки. Потоки, преимущественно вертикальные, называются шлейфами. В результате, с помощью анализа размерностей, можно показать, что вертикальные скорости обычно значительно меньше горизонтальных скоростей в токе; распределение давления, таким образом, приблизительно гидростатическое, за исключением области вблизи переднего края. Гравитационные токи могут быть смоделированы уравнениями мелкой воды, с особым учетом переднего края, который ведет себя как разрыв. По мере истощения движущей жидкости в результате распространения тока в окружающую среду, движущий напор уменьшается, пока поток не станет ламинарным. На этой стадии смешение минимально, и волнообразная структура потока исчезает. С этого момента скорость распространения со временем уменьшается, а ток постепенно замедляется. В конечном итоге, по мере дальнейшего распространения, ток становится настолько тонким, что вязкие силы между внедряющейся жидкостью, окружающей средой и границами начинают определять поток. На этой стадии смешение прекращается, а скорость распространения еще больше снижается. Распространение гравитационного тока зависит от граничных условий, и обычно выделяют два случая в зависимости от того, совпадает ли начальная ширина выброса с шириной окружающей среды или нет. В случае совпадения ширины получается так называемый "обменный поток" или "коридорный" поток. Это поток, распространяющийся вдоль стенок с обеих сторон и эффективно поддерживающий постоянную ширину при распространении. В этом случае поток фактически двумерный. Эксперименты с вариациями этого потока проводились с обменными потоками, распространяющимися в сужающихся/расширяющихся средах. Сужающаяся среда приводит к увеличению высоты напора по мере продвижения тока и, следовательно, к увеличению скорости распространения со временем, в то время как в расширяющейся среде происходит обратное. В другом случае поток распространяется радиально от источника, образуя "осесимметричный" поток. Угол распространения зависит от условий выброса. В случае точечного выброса, крайне редкого явления в природе, распространение идеально осесимметрично, во всех остальных случаях ток образует сектор. При встрече гравитационного тока с твердой границей он может либо преодолеть ее, обтекая или перетекая через нее, либо отразиться от нее. Фактический исход столкновения зависит главным образом от высоты и ширины препятствия. Если препятствие невысокое, часть гравитационного тока преодолеет его, перетекая через него. Аналогично, если ширина препятствия мала, гравитационный ток обойдет его, как река огибает валун. Если препятствие нельзя преодолеть, и распространение находится в турбулентной фазе, гравитационный ток сначала поднимется (или опустится, в зависимости от разности плотности) вдоль препятствия, процесс, известный как "подъем-опускание" (sloshing). Подъем-опускание вызывает интенсивное смешение между окружающей средой и током, что приводит к накоплению более легкой жидкости у препятствия. По мере накопления жидкости у препятствия она начинает распространяться в направлении, противоположном первоначальному току, эффективно образуя второй гравитационный ток, текущий поверх первоначального. Этот процесс отражения является типичной особенностью потоков в дверных проемах (см. ниже), где гравитационный ток поступает в пространство ограниченного размера. В этом случае поток неоднократно сталкивается с торцевыми стенками пространства, вызывая серию токов, движущихся вперед и назад между противоположными стенками. Этот процесс был подробно описан Лейном Серфом.

Исследования

Первое математическое исследование распространения гравитационных течений принадлежит Т. Б. Бенджамину. Наблюдения вторжений и столкновений между жидкостями различной плотности проводились задолго до работы Т. Б. Бенджамина, например, Эллисоном и Тюнером, М. Б. Эбботом или Д. И. Х. Барром. Дж. Э. Симпсон из Департамента прикладной математики и теоретической физики Кембриджского университета в Великобритании долгое время занимался исследованиями гравитационных течений и опубликовал множество работ по этой теме. В 1982 году он опубликовал статью в журнале Annual Review of Fluid Mechanics, в которой был представлен обзор состояния исследований в области гравитационных течений на тот момент. Симпсон также опубликовал более подробную книгу, посвященную этой теме.

В природе и в застроенной среде

Гравитационные токи способны переносить материал на большие горизонтальные расстояния. Например, турбидные течения на морском дне могут переносить материалы на тысячи километров. Гравитационные токи возникают в различных масштабах в природе. Примеры включают лавины, хабубы, морские потоки мутности, лахары, пирокластические потоки и потоки лавы. Существуют также гравитационные токи с большими различиями в плотности – так называемые сжимаемые потоки с низким числом Маха. Примером такого гравитационного тока является рассеивание тяжелого газа в атмосфере при начальном соотношении плотности газа к плотности атмосферы от примерно 1,5 до 5. Гравитационные токи часто встречаются в городской среде в виде потоков в дверных проемах. Это происходит, когда дверь (или окно) разделяет два помещения с разной температурой и обеспечивается воздухообмен. Это можно ощутить, например, сидя в отапливаемом вестибюле зимой, когда внезапно открывается входная дверь. В этом случае холодный воздух сначала ощущается ногами, поскольку наружный воздух распространяется как гравитационный ток вдоль пола помещения. Потоки в дверных проемах представляют интерес в области естественной вентиляции и кондиционирования/охлаждения и были широко исследованы.

Модели коробок

Для гравитационного тока конечного объема, пожалуй, самый простой подход к моделированию – это использование коробчатой модели, где "коробка" (прямоугольник для 2D-задач, цилиндр для 3D) используется для представления тока. Коробка не вращается и не подвергается сдвигу, но изменяет свои пропорции (то есть растягивается) по мере развития потока. Здесь динамика задачи значительно упрощается (то есть силы, управляющие потоком, не рассматриваются напрямую, а учитываются только их эффекты) и обычно сводится к условию, определяющему движение фронта через число Фроуда, и уравнению, выражающему глобальное сохранение массы, то есть для 2D-задачи, где Fr – число Фроуда, uf – скорость на фронте, g′ – приведенная гравитация, h – высота коробки, l – длина коробки, а Q – объем на единицу ширины. Модель не является хорошим приближением на ранней стадии обрушения гравитационного тока, когда h вдоль тока вовсе не является постоянной, или на конечной вязкой стадии гравитационного тока, когда трение становится существенным и изменяет Fr. Модель хорошо работает на этапе между ними, когда число Фроуда на фронте постоянно, а форма тока имеет почти постоянную высоту. Можно задать дополнительные уравнения для процессов, которые изменяют плотность внедряющейся жидкости, например, посредством седиментации. Условие на фронте (число Фроуда) обычно нельзя определить аналитически, но его можно получить экспериментально или путем наблюдения за природными явлениями. Число Фроуда не обязательно является постоянным и может зависеть от высоты потока, когда она сопоставима с глубиной вышележащей жидкости. Решение этой задачи находится путем замечания, что и интегрирования по начальной длине l0. В случае постоянного объема Q и числа Фроуда Fr это приводит к