Введение
Понятие в топологии
В математической дисциплине общей топологии, польское пространство — это сепарабельное, полнометризуемое топологическое пространство, то есть пространство, гомеоморфное полному метрическому пространству, имеющему счетное плотное подмножество. Польские пространства названы так в честь польских топологов и логиков, которые впервые их интенсивно изучали — Серпинского, Куратовского, Тарского и других. Однако в настоящее время польские пространства в основном изучаются как основная область для описательной теории множеств, включая изучение отношений эквивалентности Бореля. Польские пространства также представляют собой удобную среду для более продвинутой теории меры, в частности, в теории вероятностей. Типичными примерами польских пространств являются вещественная прямая, любое сепарабельное банахово пространство, пространство Кантора и пространство Байра. Кроме того, некоторые пространства, не являющиеся полными метрическими пространствами в обычной метрике, могут быть польскими; например, открытый интервал является польским. Между любыми двумя несчетными польскими пространствами существует изоморфизм Бореля, то есть биекция, сохраняющая структуру Бореля. В частности, каждое несчетное польское пространство имеет мощность континуума. Пространства Лузина, пространства Суслина и пространства Радона являются обобщениями польских пространств.
In the mathematical discipline of general topology, a Polish space is a separable completely metrizable topological space; that is, a space homeomorphic to a complete metric space that has a countable dense subset. Polish spaces are so named because they were first extensively studied by Polish topologists and logicians—Sierpiński, Kuratowski, Tarski and others. However, Polish spaces are mostly studied today because they are the primary setting for descriptive set theory, including the study of Borel equivalence relations. Polish spaces are also a convenient setting for more advanced measure theory, in particular in probability theory. Common examples of Polish spaces are the real line, any separable Banach space, the Cantor space, and the Baire space. Additionally, some spaces that are not complete metric spaces in the usual metric may be Polish; e. g., the open interval is Polish. Between any two uncountable Polish spaces, there is a Borel isomorphism; that is, a bijection that preserves the Borel structure. In particular, every uncountable Polish space has the cardinality of the continuum. Lusin spaces, Suslin spaces, and Radon spaces are generalizations of Polish spaces.
Характеристика
Существует множество критериев, позволяющих определить, когда второе счетное топологическое пространство является метризуемым, например, теорема Урысона о метризации. Задача определения того, является ли метризуемое пространство вполне метризуемым, более сложна. Топологическим пространствам, таким как открытый интервал (0,1), можно придать как полные, так и неполные метрики, порождающие их топологию. Существует критерий для полных сепарабельных метрических пространств, выраженный через игру, известную как сильная игра Шоке. Сепарабельное метрическое пространство вполне метризуемо тогда и только тогда, когда второй игрок имеет выигрышную стратегию в этой игре. Другой критерий следует из теоремы Александрова. Она утверждает, что сепарабельное метрическое пространство вполне метризуемо тогда и только тогда, когда оно является подмножеством своего дополнения в исходной метрике.
Польские метрические пространства
Хотя польские пространства метризуемы, сами по себе они не являются метрическими пространствами; каждое польское пространство допускает множество полных метрик, определяющих одну и ту же топологию, но ни одна из них не является выделенной или предпочтительной. Польское пространство, снабжённое выделенной полной метрикой, называется польским метрическим пространством. Альтернативный, эквивалентный данному, подход заключается в том, чтобы сначала определить "польское метрическое пространство" как "полное и сепарабельное метрическое пространство", а затем определить "польское пространство" как топологическое пространство, полученное из польского метрического пространства путём отбрасывания метрики.
Радоновые пространства
Радоново пространство, названное в честь Иоганна Радона, — это топологическое пространство, на котором любая борелевская мера вероятности на M внутренне регулярна. Поскольку мера вероятности глобально конечна и, следовательно, локально конечна, любая мера вероятности на радоновом пространстве также является радоновской мерой. В частности, сепарабельное полное метрическое пространство (M, d) является радоновым пространством. Любое пространство Суслина является радоновым пространством.