Введение

Топологически инвариантное определение размерности пространства

В математике размерность Лебега покрытия или топологическая размерность топологического пространства — это один из нескольких различных способов определения размерности пространства, который является топологически инвариантным.

Неформальная дискуссия

Для обычных евклидовых пространств размерность Лебега совпадает с обычной евклидовой размерностью: ноль для точек, один для линий, два для плоскостей и так далее. Однако не все топологические пространства обладают такой "очевидной" размерностью, поэтому в таких случаях требуется точное определение. Определение строится на рассмотрении того, что происходит при покрытии пространства открытыми множествами. В общем случае, топологическое пространство X можно покрыть открытыми множествами, то есть можно найти коллекцию открытых множеств, содержащую X в своем объединении. Покрывающая размерность – это наименьшее число n, такое что для любого покрытия существует уточнение, в котором каждая точка в X лежит в пересечении не более чем n + 1 покрывающих множеств. В этом заключается суть формального определения, приведенного ниже. Цель определения – предоставить число (целое число), которое описывает пространство и не изменяется при его непрерывной деформации, то есть является инвариантом относительно гомеоморфизмов. Общая идея иллюстрируется на диаграммах ниже, показывающих покрытие и уточнения круга и квадрата. На первом изображении представлено уточнение (внизу) цветного покрытия (вверху) черной окружности. Обратите внимание, что в уточнении ни одна точка на окружности не содержится более чем в двух множествах, а также то, как множества связаны друг с другом, образуя "цепь". Верхняя часть второго изображения демонстрирует покрытие (цветное) плоской фигуры (темной), где каждая точка фигуры содержится в любом количестве от одного до всех четырех множеств покрытия. Нижняя часть иллюстрирует, что любая попытка уточнить данное покрытие так, чтобы ни одна точка не содержалась более чем в двух множествах, в конечном итоге терпит неудачу на границах множеств. Таким образом, плоская фигура не является "сетчатой": её нельзя покрыть "цепями" в прямом смысле. Вместо этого она оказывается более "толстой" в некотором смысле. Более строго говоря, её топологическая размерность должна быть больше 1.

Формальное определение

Первое формальное определение размерности покрытия было дано Эдуардом Чехом, основываясь на более ранних результатах Анри Лебега. Современное определение следующее: Открытое покрытие топологического пространства X — это семейство открытых множеств Uα, такое, что их объединение составляет всё пространство, Uα = X. Порядок или кратность открытого покрытия = {Uα} — это наименьшее число m (если оно существует), для которого каждая точка пространства принадлежит не более чем m открытым множествам в покрытии: иными словами, Uα1 ∩ ⋅⋅⋅ ∩ Uαm+1 = ∅ для различных α1, …, αm+1. Уточнение открытого покрытия = {Uα} — это другое открытое покрытие = {Vβ}, такое, что каждое Vβ содержится в некотором Uα. Размерность покрытия топологического пространства X определяется как минимальное значение n, такое, что каждое конечное открытое покрытие X имеет открытое уточнение порядка n + 1. Таким образом, если n конечно, Vβ1 ∩ ⋅⋅⋅ ∩ Vβn+2 = ∅ для различных β1, …, βn+2. Если такого минимального n не существует, пространство называется имеющим бесконечную размерность покрытия. В качестве частного случая, непустое топологическое пространство имеет нулевую размерность по отношению к размерности покрытия, если каждое открытое покрытие пространства имеет уточнение, состоящее из непересекающихся открытых множеств, то есть любая точка в пространстве содержится ровно в одном открытом множестве этого уточнения.

Примеры

Пустое множество имеет размер покрытия 1: для любого открытого покрытия пустого множества каждая точка пустого множества не содержится ни в одном элементе покрытия, поэтому порядок любого открытого покрытия равен 0. Любое открытое покрытие единичной окружности можно уточнить до коллекции открытых дуг. Окружность имеет размерность один, согласно этому определению, поскольку любое такое покрытие можно дополнительно уточнить до стадии, когда заданная точка x окружности содержится не более чем в двух открытых дугах. То есть, с какой бы коллекцией дуг мы ни начали, некоторые из них можно отбросить или сузить, так что оставшиеся по-прежнему покрывают окружность, но с простыми перекрытиями. Аналогично, любое открытое покрытие единичного диска в двумерной плоскости можно уточнить таким образом, чтобы любая точка диска содержалась не более чем в трех открытых множествах, в то время как двух, как правило, недостаточно. Таким образом, размер покрытия диска равен двум. В более общем случае, n-мерное евклидово пространство имеет размер покрытия n.

Свойства

Гомеоморфные пространства имеют одинаковую покрывающую размерность. То есть, покрывающая размерность является топологическим инвариантом. Покрывающая размерность нормального пространства X равна n, если и только если для любого замкнутого подмножества A пространства X, если f: A → Sⁿ непрерывна, то существует расширение f на X. Здесь Sⁿ — n-мерная сфера. Теорема Остранда о цветной размерности. Если X — нормальное топологическое пространство и {Uα} — локально конечное покрытие X порядка ≤ n + 1, то для каждого 1 ≤ i ≤ n + 1 существует семейство попарно непересекающихся открытых множеств {Vi,α} сжимающихся к Uα, то есть Vi,α ⊆ Uα, и вместе покрывающих X.

Отношения с другими понятиями измерения

Для паракомпактного пространства X размер покрытия может быть эквивалентно определен как минимальное значение n, такое что каждое открытое покрытие X (любого размера) имеет открытое уточнение порядка n + 1. В частности, это справедливо для всех метрических пространств. Теорема Лебега о покрытиях. Размер покрытия Лебега совпадает с аффинным измерением конечного симплициального комплекса. Размер покрытия нормального пространства не превосходит большого индуктивного измерения. Размер покрытия паракомпактного пространства Хаусдорфа больше или равен его кохомологическому измерению (в смысле снопов), то есть для каждого снопа абелевых групп и каждого r, большего чем размер покрытия X. В метрическом пространстве можно усилить понятие кратности покрытия: покрытие имеет кратность r, равную n + 1, если каждый r-шар пересекается не более чем с n + 1 множествами из покрытия. Эта идея приводит к определениям асимптотического измерения и измерения Ассуа–Нагаты пространства: пространство с асимптотическим измерением n является n-мерным "в больших масштабах", а пространство с измерением Ассуа–Нагаты n является n-мерным "в каждом масштабе".

Исторические

Карл Менгер, Общие пространства и декартовы пространства, (1926) Сообщения в Амстердамскую академию наук. Английский перевод переиздан в "Классике фракталов" под редакцией Джеральда А. Эдгара, Addison Wesley (1993). Карл Менгер, Dimensionstheorie, (1928) Издательство B. G Teubner, Лейпциг.

Современный

В. В. Федорчук, Основы теории размерности, опубликованные в Энциклопедии математических наук, том 17, Общая топология I, (1993) под редакцией А. В. Архангельского и Л. С. Понтрягина, Springer Verlag, Берлин.