Введение
Понятие в геометрии и топологии
В геометрии и топологии линия на бесконечности — это проективная прямая, добавляемая к вещественной (аффинной) плоскости для обеспечения полноты и устранения особых случаев из свойств инцидентности результирующей проективной плоскости. Линия на бесконечности также называется идеальной прямой.
Геометрическая формулировка
В проективной геометрии любая пара прямых всегда пересекается в некоторой точке, но параллельные прямые не пересекаются в реальной плоскости. К реальной плоскости добавляется прямая на бесконечности. Это дополняет плоскость, поскольку теперь параллельные прямые пересекаются в точке, лежащей на прямой на бесконечности. Также, если какая-либо пара прямых не пересекается в точке, не лежащей на прямой на бесконечности, то эта пара прямых параллельна. Каждая прямая пересекает прямую на бесконечности в некоторой точке. Точка пересечения параллельных прямых зависит только от углового коэффициента этих прямых и никак не зависит от их y-пересечения. В аффинной плоскости прямая простирается в двух противоположных направлениях. В проективной плоскости эти два противоположных направления прямой сходятся в точке на прямой на бесконечности. Следовательно, прямые в проективной плоскости являются замкнутыми кривыми, то есть они цикличны, а не линейны. Это справедливо и для самой прямой на бесконечности: она соединяется в своих двух конечных точках (которые, следовательно, на самом деле не являются концами) и, таким образом, сама является циклической.
Топологическая перспектива
Линия в бесконечности может быть визуализирована как окружность, окружающая аффинную плоскость. Однако диаметрально противоположные точки окружности эквивалентны – они представляют собой одну и ту же точку. Объединение аффинной плоскости и линии в бесконечности образует реальную проективную плоскость. Гиперболу можно рассматривать как замкнутую кривую, пересекающую линию в бесконечности в двух различных точках. Эти две точки определяются наклонами двух асимптот гиперболы. Аналогично, параболу можно рассматривать как замкнутую кривую, пересекающую линию в бесконечности в одной точке. Эта точка определяется наклоном оси параболы. Если параболу разделить вершиной на симметричную пару "рогов", то эти два рога становятся все более параллельными друг другу по мере удаления от вершины и фактически параллельны оси и друг другу в бесконечности, так что они пересекаются на линии в бесконечности. Аналогом комплексной проективной плоскости является "линия" в бесконечности, которая (естественно) является комплексной проективной линией. Топологически это совершенно иное, поскольку это сфера Римана, которая, следовательно, является 2-сферой, добавленной к комплексному аффинному пространству двух измерений над C (то есть четырех реальным измерениям), в результате чего получается четырехмерное компактное многообразие. Полученный результат ориентируем, в то время как реальная проективная плоскость не ориентируема.
A hyperbola can be seen as a closed curve which intersects the line at infinity in two different points. These two points are specified by the slopes of the two asymptotes of the hyperbola. Likewise, a parabola can be seen as a closed curve which intersects the line at infinity in a single point. This point is specified by the slope of the axis of the parabola. If the parabola is cut by its vertex into a symmetrical pair of "horns", then these two horns become more parallel to each other further away from the vertex, and are actually parallel to the axis and to each other at infinity, so that they intersect at the line at infinity. The analogue for the complex projective plane is a 'line' at infinity that is (naturally) a complex projective line. Topologically this is quite different, in that it is a Riemann sphere, which is therefore a 2 sphere, being added to a complex affine space of two dimensions over C (so four real dimensions), resulting in a four dimensional compact manifold. The result is orientable, while the real projective plane is not.