Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В проективной геометрии плоскость на бесконечности — это гиперплоскость на бесконечности трёхмерного проективного пространства или любая плоскость, содержащаяся в гиперплоскости на бесконечности проективного пространства более высокой размерности. Данная статья посвящена исключительно трёхмерному случаю.
In projective geometry, a plane at infinity is the hyperplane at infinity of a three dimensional projective space or to any plane contained in the hyperplane at infinity of any projective space of higher dimension. This article will be concerned solely with the three dimensional case.
Определение
Существует два подхода к определению плоскости на бесконечности, зависящих от того, исходят ли из проективного 3-пространства или аффинного 3-пространства. Если задано проективное 3-пространство, то плоскость на бесконечности – это любая выделенная проективная плоскость в этом пространстве. Эта точка зрения подчеркивает, что данная плоскость геометрически неотличима от любой другой плоскости. С другой стороны, если задано аффинное 3-пространство, то плоскость на бесконечности – это проективная плоскость, добавляемая к аффинному 3-пространству для обеспечения полноты свойств инцидентности. Это означает, что точки плоскости на бесконечности – это точки пересечения параллельных прямых аффинного 3-пространства, а прямые – это линии пересечения параллельных плоскостей аффинного 3-пространства. Результатом добавления является проективное 3-пространство. Эта точка зрения подчеркивает внутреннюю структуру плоскости на бесконечности, но при этом выделяет её, делая "особенной" по сравнению с другими плоскостями пространства. Если аффинное 3-пространство является вещественным, то добавление вещественной проективной плоскости на бесконечности приводит к образованию вещественного проективного 3-пространства.
There are two approaches to defining the plane at infinity which depend on whether one starts with a projective 3 space or an affine 3 space. If a projective 3 space is given, the plane at infinity is any distinguished projective plane of the space. This point of view emphasizes the fact that this plane is not geometrically different than any other plane. On the other hand, given an affine 3 space, the plane at infinity is a projective plane which is added to the affine 3 space in order to give it closure of incidence properties. Meaning that the points of the plane at infinity are the points where parallel lines of the affine 3 space will meet, and the lines are the lines where parallel planes of the affine 3 space will meet. The result of the addition is the projective 3 space, This point of view emphasizes the internal structure of the plane at infinity, but does make it look "special" in comparison to the other planes of the space. If the affine 3 space is real, , then the addition of a real projective plane at infinity produces the real projective 3 space .
Свойства
Поскольку плоскость на бесконечности является проективной плоскостью, она гомеоморфна поверхности "сферы по модулю антиподов", то есть сфере, в которой антиподальные точки отождествляются: S2/{+1, -1}, где отождествление понимается как фактор по действию группы (см. фактор-пространство).
Since the plane at infinity is a projective plane, it is homeomorphic to the surface of a "sphere modulo antipodes", i. e. a sphere in which antipodal points are equivalent: S2/{1, 1} where the quotient is understood as a quotient by a group action (see quotient space).