Введение

Множества без общих элементов – математическое понятие.

В теории множеств в математике и формальной логике, два множества называются непересекающимися, если у них нет общих элементов. Эквивалентно, два непересекающихся множества – это множества, пересечение которых является пустым множеством. Например, {1, 2, 3} и {4, 5, 6} являются непересекающимися множествами, в то время как {1, 2, 3} и {3, 4, 5} не являются непересекающимися. Коллекция, состоящая из двух или более множеств, называется непересекающейся, если любые два различных множества из этой коллекции непересекаются.

Обобщения

Это определение непересекающихся множеств может быть расширено на семейства множеств и на индексированные семейства множеств. По определению, коллекция множеств называется семейством множеств (например, как множество степеней). В некоторых источниках это множество множеств, а в других допускается, чтобы это было мультимножество множеств, с возможными повторениями некоторых множеств. Индексированное семейство множеств по определению является функцией, принимающей значения в множествах (то есть, это функция, которая сопоставляет каждому элементу в своей области определения множество), область определения которой называется индексным множеством (а элементы этой области определения называются индексами). Существует два несколько различающихся определения того, когда семейство множеств называется попарно непересекающимся. Согласно одному из этих определений, семейство считается непересекающимся, если любые два множества в семействе либо совпадают, либо не пересекаются. Это определение допускает наличие повторяющихся копий одного и того же множества в попарно непересекающемся семействе множеств. Согласно альтернативному определению, любые два множества в семействе должны быть непересекающимися; повторные копии не допускаются. Те же два определения могут быть применены к индексированному семейству множеств: согласно первому определению, любые два различных индекса в семействе должны соответствовать множествам, которые либо не пересекаются, либо совпадают, а согласно второму определению, любые два различных индекса должны соответствовать непересекающимся множествам. Например, семейство множеств 1 = { {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8} } является непересекающимся согласно обоим определениям, как и семейство 1 = { { , −2, 0, 2, 4, }, { , −3, −1, 1, 3, 5} } состоящее из двух классов четности целых чисел. Однако семейство из 10 элементов содержит по пять повторений каждого из двух непересекающихся множеств, поэтому оно является попарно непересекающимся согласно первому определению, но не согласно второму. Два множества называются почти непересекающимися, если их пересечение мало в некотором смысле. Например, два бесконечных множества, пересечение которых является конечным множеством, можно считать почти непересекающимися. В топологии существуют различные понятия разделимых множеств с более строгими условиями, чем непересекаемость. Например, два множества могут считаться разделимыми, если их замыкания или окрестности не пересекаются. Аналогично, в метрическом пространстве положительно разделимые множества – это множества, разделенные ненулевым расстоянием.

Пересечения

Разъединенность двух множеств или семейства множеств может быть выражена через пересечения их попарных комбинаций. Два множества A и B являются непересекающимися тогда и только тогда, когда их пересечение является пустым множеством. Если коллекция содержит не менее двух множеств, то условие непересекаемости коллекции подразумевает, что пересечение всей коллекции пусто. Однако, коллекция множеств может иметь пустое пересечение, не будучи непересекающейся. Кроме того, хотя коллекция, состоящая из менее чем двух множеств, тривиально непересекающаяся, поскольку нет пар для сравнения, пересечение коллекции, состоящей из одного множества, равно этому множеству, которое может быть непустым. Семейство Хелли — это система множеств, в которой единственными подсемействами с пустым пересечением являются попарно непересекающиеся подсемейства. Например, замкнутые интервалы действительных чисел образуют семейство Хелли: если семейство замкнутых интервалов имеет пустое пересечение и является минимальным (то есть никакое подсемейство семейства не имеет пустого пересечения), то оно должно быть попарно непересекающимся.

Несовместимые союзы и разделы

Разбиение множества X — это любое семейство взаимно непересекающихся непустых подмножеств, объединение которых равно X. Любое разбиение можно эквивалентно описать отношением эквивалентности — бинарным отношением, определяющим, принадлежат ли два элемента одному и тому же подмножеству в разбиении. Объединение по разным множествам и уточнение разбиения — это два метода в информатике для эффективного поддержания разбиений множества при операциях объединения, объединяющих два подмножества, или операциях уточнения, разделяющих одно подмножество на два. Ди́зъюнктное объединение может означать одно из двух. В простейшем случае это может означать объединение непересекающихся множеств. Но если два или более множества изначально пересекаются, их ди́зъюнктное объединение можно получить, модифицировав множества так, чтобы они стали непересекающимися, а затем объединив модифицированные множества. Например, два множества можно сделать непересекающимися, заменив каждый элемент упорядоченной парой, состоящей из самого элемента и бинарного значения, указывающего, какому из множеств он принадлежит. Для семейств, состоящих из более чем двух множеств, можно аналогично заменить каждый элемент упорядоченной парой, состоящей из самого элемента и индекса множества, содержащего его.