Группа вращений SO(3): Манифольд, геометрия и параметризация

Введение

В математике специальная ортогональная группа в трех измерениях, также известная как группа вращений SO(3), является естественным примером многообразия. Различные атласы на SO(3) задают различные системы координат: в этом случае нельзя говорить о предпочтительном наборе параметров для описания вращения. Поскольку имеется три степени свободы, размерность SO(3) равна трем. Во многих приложениях используется та или иная система координат, и возникает вопрос о преобразовании из одной системы в другую.

Пространство вращений

В геометрии группа вращений — это группа всех вращений вокруг начала координат трехмерного евклидова пространства R3 относительно операции композиции. По определению, вращение вокруг начала координат — это линейное преобразование, сохраняющее длину векторов (является изометрией) и сохраняющее ориентацию (т. е. хиральность) пространства. Преобразование, сохраняющее длину, но меняющее ориентацию, называется несобственным вращением. Любое несобственное вращение трехмерного евклидова пространства представляет собой вращение, за которым следует отражение относительно плоскости, проходящей через начало координат. Композиция двух вращений дает другое вращение; каждое вращение имеет единственное обратное вращение; и тождественное отображение удовлетворяет определению вращения. Благодаря этим свойствам множество всех вращений образует группу относительно композиции. Более того, группа вращений имеет естественную структуру многообразия, для которой групповые операции гладкие, поэтому это фактически группа Ли. Группа вращений часто обозначается SO(3) по причинам, которые будут объяснены ниже. Пространство вращений изоморфно множеству операторов вращения и множеству ортонормальных матриц с детерминантом +1. Оно также тесно связано (является двойным покрытием) с множеством кватернионов с их внутренним произведением, а также с множеством векторов вращения (хотя здесь связь сложнее, см. ниже для подробностей), с другой внутренней операцией композиции, заданной произведением их эквивалентных матриц. Обозначение векторов вращения происходит из теоремы Эйлера о вращениях, которая утверждает, что любое вращение в трех измерениях можно описать вращением на некоторый угол вокруг некоторой оси. Учитывая это, мы можем задать ось одного из таких вращений двумя углами, а радиус вектора использовать для определения угла вращения. Эти векторы представляют собой сферу в 3D с необычной топологией. Эта трехмерная сфера эквивалентна поверхности четырехмерного диска, который также является трехмерным многообразием. Для установления этого соответствия нам нужно определить, как мы будем представлять вращение с помощью этой четырехмерной встроенной поверхности.

In geometry the rotation group is the group of all rotations about the origin of three dimensional Euclidean space R3 under the operation of composition. By definition, a rotation about the origin is a linear transformation that preserves length of vectors (it is an isometry) and preserves orientation (i. e. handedness) of space. A length preserving transformation which reverses orientation is called an improper rotation. Every improper rotation of three dimensional Euclidean space is a rotation followed by a reflection in a plane through the origin. Composing two rotations results in another rotation; every rotation has a unique inverse rotation; and the identity map satisfies the definition of a rotation. Owing to the above properties, the set of all rotations is a group under composition. Moreover, the rotation group has a natural manifold structure for which the group operations are smooth; so it is in fact a Lie group. The rotation group is often denoted SO(3) for reasons explained below. The space of rotations is isomorphic with the set of rotation operators and the set of orthonormal matrices with determinant +1. It is also closely related (double covered) with the set of quaternions with their internal product, as well as to the set of rotation vectors (though here the relation is harder to describe, see below for details), with a different internal composition operation given by the product of their equivalent matrices. Rotation vectors notation arise from the Euler's rotation theorem which states that any rotation in three dimensions can be described by a rotation by some angle about some axis. Considering this, we can then specify the axis of one of these rotations by two angles, and we can use the radius of the vector to specify the angle of rotation. These vectors represent a ball in 3D with an unusual topology. This 3D solid sphere is equivalent to the surface of a 4D disc, which is also a 3D variety. For doing this equivalence, we will have to define how will we represent a rotation with this 4D embedded surface.

Визуализация гиперсферы

Интересно рассмотреть пространство как трехмерную сферу S3, границу диска в 4-мерном евклидовом пространстве. Для этого нам нужно определить, как представлять вращение, используя эту 4D-встроенную поверхность. Способ, которым радиус может быть использован для определения угла вращения, не является очевидным. Его можно связать с кругами широты на сфере с определенным северным полюсом, что объясняется следующим образом: начиная с северного полюса сферы в трехмерном пространстве, мы определяем точку на северном полюсе для представления тождественного вращения. В случае тождественного вращения ось вращения не определена, а угол вращения (равный нулю) несущественен. Вращение, ось которого лежит в плоскости xy и имеет очень малый угол, можно задать сечением сферы, параллельным плоскости xy и расположенным очень близко к северному полюсу. Круг, определяемый этим сечением, будет очень мал, что соответствует малому углу вращения. По мере увеличения угла вращения сечение смещается к югу, и круги становятся больше, пока не достигнут экватора сферы, что соответствует углу вращения в 180 градусов. Продолжая движение к югу, радиусы кругов уменьшаются (что соответствует абсолютной величине угла вращения, рассматриваемого как отрицательное число). Наконец, достигнув южного полюса, круги снова уменьшаются до тождественного вращения, которое также задается точкой на южном полюсе. Заметим, что ряд характеристик таких вращений и их представлений можно увидеть на этой визуализации. Пространство вращений непрерывно, каждое вращение имеет окрестность вращений, которые почти идентичны, и эта окрестность становится плоской по мере ее сужения.

Псевдонимы

Кроме того, каждое вращение фактически представлено двумя антиподальными точками на сфере, находящимися на противоположных концах линии, проходящей через центр сферы. Это отражает тот факт, что каждое вращение можно представить как вращение вокруг некоторой оси или, эквивалентно, как отрицательное вращение вокруг оси, направленной в противоположную сторону (так называемое двойное покрытие). "Широта" круга, представляющего определенный угол вращения, будет равна половине этого угла вращения, поскольку при перемещении точки от северного к южному полюсу широта изменяется от нуля до 180 градусов, а угол вращения – от 0 до 360 градусов. ("Долгота" точки, в свою очередь, представляет собой конкретную ось вращения.) Однако следует отметить, что это множество вращений не является замкнутым относительно композиции. Два последовательных вращения с осями в плоскости xy не обязательно дадут вращение, ось которого лежит в плоскости xy, и, следовательно, не может быть представлено точкой на сфере. Это не будет справедливо для общего вращения в трехмерном пространстве, которое образует замкнутое множество относительно композиции. Эту визуализацию можно расширить на общее вращение в трехмерном пространстве. Тождественное вращение – это точка, а небольшой угол вращения вокруг некоторой оси можно представить как точку на сфере с небольшим радиусом. По мере увеличения угла вращения сфера увеличивается, пока угол вращения не достигнет 180 градусов, после чего сфера начинает сжиматься, превращаясь в точку при приближении угла к 360 градусам (или к нулю градусам, если смотреть в отрицательном направлении). Этот набор расширяющихся и сжимающихся сфер представляет собой гиперсферу в четырехмерном пространстве (3-сферу). Как и в более простом примере выше, каждое вращение, представленное точкой на гиперсфере, соответствует своей антиподальной точке на этой гиперсфере. "Широта" на гиперсфере будет равна половине соответствующего угла вращения, а окрестность любой точки станет "более плоской" (то есть будет представлена трехмерным евклидовым пространством точек) по мере уменьшения окрестности. Это поведение соответствует множеству единичных кватернионов: общий кватернион представляет точку в четырехмерном пространстве, но ограничение его единичной величиной дает трехмерное пространство, эквивалентное поверхности гиперсферы. Величина единичного кватерниона будет равна единице, что соответствует гиперсфере единичного радиуса. Векторная часть единичного кватерниона представляет радиус 2-сферы, соответствующей оси вращения, а его величина равна синусу половины угла вращения. Каждое вращение представлено двумя единичными кватернионами с противоположными знаками, и, как и в пространстве вращений в трех измерениях, кватернионное произведение двух единичных кватернионов даст единичный кватернион. Кроме того, пространство единичных кватернионов "плоское" в любой бесконечно малой окрестности данного единичного кватерниона.

Also, each rotation is actually represented by two antipodal points on the sphere, which are at opposite ends of a line through the center of the sphere. This reflects the fact that each rotation can be represented as a rotation about some axis, or, equivalently, as a negative rotation about an axis pointing in the opposite direction (a so called double cover). The "latitude" of a circle representing a particular rotation angle will be half of the angle represented by that rotation, since as the point is moved from the north to south pole, the latitude ranges from zero to 180 degrees, while the angle of rotation ranges from 0 to 360 degrees. (the "longitude" of a point then represents a particular axis of rotation.) Note however that this set of rotations is not closed under composition. Two successive rotations with axes in the xy plane will not necessarily give a rotation whose axis lies in the xy plane, and thus cannot be represented as a point on the sphere. This will not be the case with a general rotation in 3 space, which do form a closed set under composition. This visualization can be extended to a general rotation in 3 dimensional space. The identity rotation is a point, and a small angle of rotation about some axis can be represented as a point on a sphere with a small radius. As the angle of rotation grows, the sphere grows, until the angle of rotation reaches 180 degrees, at which point the sphere begins to shrink, becoming a point as the angle approaches 360 degrees (or zero degrees from the negative direction). This set of expanding and contracting spheres represents a hypersphere in four dimensional space (a 3 sphere). Just as in the simpler example above, each rotation represented as a point on the hypersphere is matched by its antipodal point on that hypersphere. The "latitude" on the hypersphere will be half of the corresponding angle of rotation, and the neighborhood of any point will become "flatter" (i. e. be represented by a 3D Euclidean space of points) as the neighborhood shrinks. This behavior is matched by the set of unit quaternions: A general quaternion represents a point in a four dimensional space, but constraining it to have unit magnitude yields a three dimensional space equivalent to the surface of a hypersphere. The magnitude of the unit quaternion will be unity, corresponding to a hypersphere of unit radius. The vector part of a unit quaternion represents the radius of the 2 sphere corresponding to the axis of rotation, and its magnitude is the sine of half the angle of rotation. Each rotation is represented by two unit quaternions of opposite sign, and, as in the space of rotations in three dimensions, the quaternion product of two unit quaternions will yield a unit quaternion. Also, the space of unit quaternions is "flat" in any infinitesimal neighborhood of a given unit quaternion.

Проблемы параметризации

Существуют проблемы при использовании этих представлений в качестве чего-то большего, чем локальные карты, связанные с их многозначностью и сингулярностями. То есть, прежде всего, необходимо быть осторожным и работать только с диффеоморфизмами при определении карты. Проблемы такого рода неизбежны, поскольку SO(3) диффеоморфен реальному проективному пространству P³(R), которое является фактор-пространством S³ по идентификации антиподальных точек, а карты стремятся моделировать многообразие, используя R³. Это объясняет, почему, например, углы Эйлера кажутся дающими переменную в 3-торе, а единичные кватернионы – в 3-сфере. Однозначность представления углов Эйлера нарушается в некоторых точках (см. блокировку карданова подвеса), в то время как кватернионное представление всегда является двойным покрытием, при котором q и −q дают одно и то же вращение. Если мы используем кососимметричную матрицу, то каждая кососимметричная матрица 3 × 3 определяется 3 параметрами, и, следовательно, на первый взгляд, пространство параметров – R³. Экспоненцирование такой матрицы приводит к ортогональной матрице 3 × 3 с детерминантом 1, то есть к матрице вращения, но это отображение «многие к одному». Обратите внимание, что это не является покрывающим отображением – хотя это локальный гомеоморфизм вблизи начала координат, оно не является покрывающим отображением при вращениях на 180 градусов. Можно ограничить эти матрицы шаром вокруг начала координат в R³, чтобы вращения не превышали 180 градусов, и тогда оно будет взаимно однозначным, за исключением вращений на 180 градусов, которые соответствуют границе S², и они идентифицируют антиподальные точки – это вырезанная область (cut locus). 3-шар с этой идентификацией границы – P³(R). Аналогичная ситуация возникает при применении преобразования Кэли к кососимметричной матрице. Представление «ось-угол» дает параметры в S² × S¹, и если заменить единичный вектор на фактическую ось вращения, так что n и −n задают одну и ту же линию оси, то множество осей становится P²(R), вещественной проективной плоскостью. Но поскольку вращения вокруг n и −n параметризуются противоположными значениями θ, результатом является расслоение S¹ над P²(R), которое оказывается P³(R). Дробно-линейные преобразования используют четыре комплексных параметра a, b, c и d, при условии, что ad − bc не равно нулю. Поскольку умножение всех четырех параметров на одно и то же комплексное число не меняет преобразование, можно потребовать, чтобы ad − bc = 1. Это наводит на мысль о записи (a, b, c, d) в виде комплексной матрицы 2 × 2 с детерминантом 1, то есть как элемента специальной линейной группы SL(2, ℂ). Но не все такие матрицы порождают вращения: также включены конформные отображения на S². Чтобы получить только вращения, необходимо потребовать, чтобы d было комплексно сопряженным к a, а c – отрицательным комплексно сопряженным к b. Тогда у нас есть два комплексных числа a и b, удовлетворяющих условию |a|² + |b|² = 1. Если записать a + bj, то получится кватернион единичной длины. В конечном счете, поскольку R³ не является P³(R), с каждым из этих подходов возникнет проблема. В некоторых случаях необходимо помнить, что определенные значения параметров приводят к одному и тому же вращению, и для устранения этой проблемы необходимо устанавливать границы, но тогда путь через эту область в R³ должен внезапно переходить в другую область при пересечении границы. Блокировка карданова подвеса возникает, когда производная отображения не имеет полного ранга, что происходит с углами Эйлера и углами Тайт-Брайана, но не для других вариантов. Кватернионное представление лишено этих проблем (являясь повсюду отображением «два к одному»), но оно имеет 4 параметра с условием (единичная длина), что иногда затрудняет понимание трех доступных степеней свободы.

There are problems in using these as more than local charts, to do with their multiple valued nature, and singularities. That is, one must be careful above all to work only with diffeomorphisms in the definition of chart. Problems of this sort are inevitable, since SO(3) is diffeomorphic to real projective space P3(R), which is a quotient of S3 by identifying antipodal points, and charts try to model a manifold using R3. This explains why, for example, the Euler angles appear to give a variable in the 3 torus, and the unit quaternions in a 3 sphere. The uniqueness of the representation by Euler angles breaks down at some points (cf. gimbal lock), while the quaternion representation is always a double cover, with q and −q giving the same rotation. If we use a skew symmetric matrix, every 3 × 3 skew symmetric matrix is determined by 3 parameters, and so at first glance, the parameter space is R3. Exponentiating such a matrix results in an orthogonal 3 × 3 matrix of determinant 1 – in other words, a rotation matrix, but this is a many to one map. Note that it is not a covering map – while it is a local homeomorphism near the origin, it is not a covering map at rotations by 180 degrees. It is possible to restrict these matrices to a ball around the origin in R3 so that rotations do not exceed 180 degrees, and this will be one to one, except for rotations by 180 degrees, which correspond to the boundary S2, and these identify antipodal points – this is the cut locus. The 3 ball with this identification of the boundary is P3(R). A similar situation holds for applying a Cayley transform to the skew symmetric matrix. Axis angle gives parameters in S2 × S1; if we replace the unit vector by the actual axis of rotation, so that n and −n give the same axis line, the set of axis becomes P2(R), the real projective plane. But since rotations around n and −n are parameterized by opposite values of θ, the result is an S1 bundle over P2(R), which turns out to be P3(R). Fractional linear transformations use four complex parameters, a, b, c, and d, with the condition that ad−bc is non zero. Since multiplying all four parameters by the same complex number does not change the parameter, we can insist that ad−bc=1. This suggests writing (a,b,c,d) as a 2 × 2 complex matrix of determinant 1, that is, as an element of the special linear group SL(2,C). But not all such matrices produce rotations: conformal maps on S2 are also included. To only get rotations we insist that d is the complex conjugate of a, and c is the negative of the complex conjugate of b. Then we have two complex numbers, a and b, subject to |a|2+|b|2=1. If we write a+bj, this is a quaternion of unit length. Ultimately, since R3 is not P3(R), there will be a problem with each of these approaches. In some cases, we need to remember that certain parameter values result in the same rotation, and to remove this issue, boundaries must be set up, but then a path through this region in R3 must then suddenly jump to a different region when it crosses a boundary. Gimbal lock is a problem when the derivative of the map is not full rank, which occurs with Euler angles and Tait–Bryan angles, but not for the other choices. The quaternion representation has none of these problems (being a two to one mapping everywhere), but it has 4 parameters with a condition (unit length), which sometimes makes it harder to see the three degrees of freedom available.

Приложения

Одной из областей, в которой эти соображения, в той или иной форме, становятся неизбежными, является кинематика жесткого тела. В качестве определения можно принять идею кривой в евклидовой группе E(3) трехмерного евклидова пространства, начинающейся в единичном элементе (начальном положении). Трансляционная подгруппа T группы E(3) является нормальной подгруппой, а ее факторгруппа – SO(3), если рассматривать только подгруппу E+(3) прямых изометрий (что разумно в кинематике). В стандартной ньютоновской кинематике трансляционную часть можно отделить от ротационной, рассматривая движение центра масс и вращения жесткого тела вокруг центра масс. Следовательно, любое движение жесткого тела напрямую приводит к SO(3) при исключении трансляционной части. Эти отождествления иллюстрируют, что SO(3) связна, но не просто связна. Что касается последнего, рассмотрим в шаре с отождествленными антиподальными точками поверхности путь, идущий от "северного полюса" прямо через центр к "южному полюсу". Это замкнутый контур, поскольку северный и южный полюсы отождествлены. Этот контур нельзя стянуть в точку, поскольку, как бы вы его ни деформировали, начальная и конечная точки должны оставаться антиподальными, иначе контур "разомкнется". В терминах вращений этот контур представляет собой непрерывную последовательность вращений вокруг оси z, начинающуюся и заканчивающуюся в единичном вращении (то есть серию вращений на угол φ, где φ изменяется от 0 до 2π). Удивительно, но если пройти по пути дважды, то есть от северного полюса к южному и обратно к северному, так что φ изменяется от 0 до 4π, то получится замкнутый контур, который можно стянуть в одну точку: сначала непрерывно переместите путь на поверхность шара, по-прежнему соединяя северный полюс с южным дважды. Затем вторую половину пути можно зеркально отразить на антиподальную сторону, не изменяя путь. Теперь у нас есть обычный замкнутый контур на поверхности шара, соединяющий северный полюс с самим собой вдоль большого круга. Этот круг можно без проблем стянуть в северный полюс. Балийский трюк с тарелками и подобные демонстрируют это на практике. Тот же аргумент можно применить в общем случае, и он показывает, что фундаментальная группа SO(3) является циклической группой порядка 2. В физических приложениях нетривиальность фундаментальной группы позволяет существовать объектам, известным как спиноры, и является важным инструментом в разработке теоремы спин-статистики. Универсальным покрытием SO(3) является группа Ли, называемая Spin(3). Группа Spin(3) изоморфна специальной унитарной группе SU(2); она также диффеоморфна сфере S3 и может быть понята как группа единичных кватернионов (то есть кватернионов с абсолютным значением 1). Связь между кватернионами и вращениями, широко используемая в компьютерной графике, объясняется в разделе "Кватернионы и пространственные вращения". Отображение из S3 на SO(3), отождествляющее антиподальные точки S3, является сюръективным гомоморфизмом групп Ли с ядром {±1}. Топологически это отображение является двулистным покрывающим отображением.

One area in which these considerations, in some form, become inevitable, is the kinematics of a rigid body. One can take as definition the idea of a curve in the Euclidean group E(3) of three dimensional Euclidean space, starting at the identity (initial position). The translation subgroup T of E(3) is a normal subgroup, with quotient SO(3) if we look at the subgroup E+(3) of direct isometries only (which is reasonable in kinematics). The translational part can be decoupled from the rotational part in standard Newtonian kinematics by considering the motion of the center of mass, and rotations of the rigid body about the center of mass. Therefore, any rigid body movement leads directly to SO(3), when we factor out the translational part. These identifications illustrate that SO(3) is connected but not simply connected. As to the latter, in the ball with antipodal surface points identified, consider the path running from the "north pole" straight through the center down to the south pole. This is a closed loop, since the north pole and the south pole are identified. This loop cannot be shrunk to a point, since no matter how you deform the loop, the start and end point have to remain antipodal, or else the loop will "break open". In terms of rotations, this loop represents a continuous sequence of rotations about the z axis starting and ending at the identity rotation (i. e. a series of rotations through an angle φ where φ runs from 0 to 2π). Surprisingly, if you run through the path twice, i. e., from north pole down to south pole and back to the north pole so that φ runs from 0 to 4π, you get a closed loop which can be shrunk to a single point: first move the paths continuously to the ball's surface, still connecting north pole to south pole twice. The second half of the path can then be mirrored over to the antipodal side without changing the path at all. Now we have an ordinary closed loop on the surface of the ball, connecting the north pole to itself along a great circle. This circle can be shrunk to the north pole without problems. The Balinese plate trick and similar tricks demonstrate this practically. The same argument can be performed in general, and it shows that the fundamental group of SO(3) is cyclic group of order 2. In physics applications, the non triviality of the fundamental group allows for the existence of objects known as spinors, and is an important tool in the development of the spin–statistics theorem. The universal cover of SO(3) is a Lie group called Spin(3). The group Spin(3) is isomorphic to the special unitary group SU(2); it is also diffeomorphic to the unit 3 sphere S3 and can be understood as the group of unit quaternions (i. e. those with absolute value 1). The connection between quaternions and rotations, commonly exploited in computer graphics, is explained in quaternions and spatial rotations. The map from S3 onto SO(3) that identifies antipodal points of S3 is a surjective homomorphism of Lie groups, with kernel {±1}. Topologically, this map is a two to one covering map.