Введение

Двойное накрытие группы Ли специальной ортогональной группы. В математике спиновая группа, обозначаемая Spin(n), является группой Ли, базовым многообразием которой является двойное накрытие специальной ортогональной группы SO(n) = SO(n, ℝ), таким что существует точная короткая последовательность групп Ли (при n ≠ 2).

Закон группового умножения на двойном накрытии задается поднятием умножения на SO(n). Как группа Ли, Spin(n) имеет ту же размерность, n(n − 1)/2, и ту же алгебру Ли, что и специальная ортогональная группа. Для n > 2, Spin(n) просто связна и, следовательно, совпадает с универсальным накрытием SO(n). Нетривиальный элемент ядра обозначается −1, который не следует путать с ортогональным преобразованием отражения относительно начала координат, обычно обозначаемым −I. Spin(n) может быть построена как подгруппа обратимых элементов в алгебре Клиффорда Cl(n). Спинорные представления рассматриваются в отдельной статье.

Мотивация и физическая интерпретация

Спиновая группа используется в физике для описания симметрий (электрически нейтральных, незаряженных) фермионов. Ее комплексификация, Spinc, используется для описания электрически заряженных фермионов, наиболее известным примером которых является электрон. Строго говоря, спиновая группа описывает фермион в пространстве нулевой размерности; однако, пространство не является нулевой размерности, поэтому спиновая группа используется для определения спиновых структур на (псевдо)римановых многообразиях: спиновая группа является группой симметрий спинорного расслоения. Аффинное соединение на спинорном расслоении – это спинорное соединение; спинорное соединение может упростить вычисления в общей теории относительности. Спинорное соединение, в свою очередь, позволяет записать уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени (фактически, в тетрадных координатах), что, в свою очередь, предоставляет основу для квантовой гравитации, а также формализацию излучения Хокинга (где один из запутанной пары виртуальных фермионов падает за горизонт событий, а другой – нет).

Геометрическая конструкция

Спиновые группы могут быть построены менее явно, но без обращения к алгебрам Клиффорда. Как многообразие, является двулистным накрытием Его закон умножения можно определить путем поднятия следующим образом. Обозначим покрывающее отображение Тогда – множество из двух элементов, и один из них можно без ограничения общности выбрать в качестве единичного элемента. Обозначим его Тогда для определения умножения в , для выбираем пути такие, что , и Они определяют путь в определённый удовлетворяющий Поскольку является двулистным накрытием, существует единственный подъем пути с Затем определим произведение как Можно показать, что это определение не зависит от выбора путей , что умножение непрерывно, и что групповые аксиомы выполняются, при этом обращение является непрерывным, что делает группой Ли.