Введение

Обобщение аффинных связей
В математической области дифференциальной геометрии, картаннова связь является гибким обобщением понятия аффинной связи. Её также можно рассматривать как специализацию общей концепции главного связного расслоения, в котором геометрия главного расслоения связана с геометрией базового многообразия посредством формы привязки. Картанновы связи описывают геометрию многообразий, моделируемых на однородных пространствах. Теория картанновых связей была разработана Эли Картаном как часть (и способ формулирования) его метода движущихся реперов. Основная идея заключается в разработке подходящего понятия форм связи и кривизны с использованием движущихся реперов, адаптированных к конкретной геометрической задаче. В теории относительности или римановой геометрии ортонормальные реперы используются для получения описания соединения Леви-Чивиты как картанновой связи. Для групп Ли используются реперы Маурера-Картана для рассмотрения формы Маурера-Картана группы как картанновой связи. Картан переформулировал дифференциальную геометрию (псевдо)римановой геометрии, а также дифференциальную геометрию многообразий, оснащенных некоторой неметрической структурой, включая группы Ли и однородные пространства. Термин «картаннова связь» чаще всего относится к формулировке Картана (псевдо)риманова, аффинного, проективного или конформного соединения. Хотя это наиболее часто используемые картанновы связи, они являются частными случаями более общей концепции. Подход Картана может показаться зависимым от координат из-за выбора реперов, который он предполагает. Однако это не так, и понятие может быть описано точно с использованием языка главных расслоений. Картанновы связи индуцируют ковариантные производные и другие дифференциальные операторы на определенных ассоциированных расслоениях, следовательно, возникает понятие параллельного переноса. Они имеют множество применений в геометрии и физике: см. метод движущихся реперов, формализм Картана и теорию Эйнштейна-Картана для некоторых примеров.

Введение

В своей основе геометрия состоит из представления о конгруэнтности между различными объектами в пространстве. В конце XIX века представления о конгруэнтности обычно задавались действием группы Ли на пространстве. Группы Ли обычно действуют достаточно жёстко, поэтому геометрия Картана является обобщением этого представления о конгруэнтности, допускающим наличие кривизны. Плоские геометрии Картана — те, которые имеют нулевую кривизну — локально эквивалентны однородным пространствам, а следовательно, геометриям в смысле Кляйна. Геометрия Кляйна состоит из группы Ли G вместе с подгруппой Ли H, являющейся частью G. Вместе G и H определяют однородное пространство G/H, на котором группа G действует посредством левого сдвига. Целью Кляйна было изучение объектов, живущих на однородном пространстве, которые были бы конгруэнтны относительно действия G. Геометрия Картана расширяет понятие геометрии Кляйна, присоединяя к каждой точке многообразия копию геометрии Кляйна и рассматривая эту копию как касательную к многообразию. Таким образом, геометрия многообразия в бесконечно малом пределе тождественна геометрии Кляйна, но в глобальном масштабе может существенно отличаться. В частности, в картанской геометрии действие G на ней не определено однозначно. Однако, картанская связность предоставляет способ соединения бесконечно малых модельных пространств внутри многообразия посредством параллельного переноса.

Мотивация

Рассмотрим гладкую поверхность S в трёхмерном евклидовом пространстве R3. Вблизи любой точки поверхность S может быть аппроксимирована своей касательной плоскостью в этой точке, которая является аффинным подпространством евклидова пространства. Аффинные подпространства служат моделями поверхностей — это простейшие поверхности в R3, и они однородны относительно евклидовой группы плоскости, следовательно, это геометрии Клейна в смысле эрлангенской программы Феликса Клейна. Каждая гладкая поверхность S имеет единственную аффинную плоскость, касающуюся её в каждой точке. Семейство всех таких плоскостей в R3, прикреплённых к каждой точке S, называется конгруэнцией касательных плоскостей. Касательную плоскость можно "перекатывать" вдоль S, и при этом точка контакта описывает кривую на S. И наоборот, задав кривую на S, можно перекатывать касательную плоскость вдоль этой кривой. Это обеспечивает способ отождествлять касательные плоскости в различных точках вдоль кривой посредством аффинных (фактически, евклидовых) преобразований, и является примером картановской связи, называемой аффинной связностью. Другой пример получается заменой плоскостей, как модельных поверхностей, сферами, которые однородны относительно группы Мёбиуса конформных преобразований. Уникальной сферы, касающейся гладкой поверхности S в каждой точке, больше не существует, поскольку радиус сферы не определён. Это можно исправить, предположив, что сфера имеет ту же среднюю кривизну, что и S в точке касания. Такие сферы снова можно перекатывать по кривым на S, и это наделяет S другим типом картановской связи, называемой конформной связностью. Дифференциальные геометры в конце XIX и начале XX веков проявляли большой интерес к использованию модельных семейств, таких как плоскости или сферы, для описания геометрии поверхностей. Семейство модельных пространств, прикреплённых к каждой точке поверхности S, называется конгруэнцией: в предыдущих примерах существует канонический выбор такой конгруэнции. Картановская связь обеспечивает отождествление между модельными пространствами в конгруэнции вдоль любой кривой на S. Важной особенностью этих отождествлений является то, что точка контакта модельного пространства с S всегда движется вместе с кривой. Это общее условие характерно для картановских связей. В современном подходе к аффинным связям точка контакта рассматривается как начало координат в касательной плоскости (которая тогда является векторным пространством), а движение начала координат корректируется сдвигом, поэтому картановские связи не требуются. Однако, в общем случае, не существует канонического способа это сделать: в частности, для конформной связности сферической конгруэнции невозможно естественным образом отделить движение точки касания от остальной части движения. В обоих этих примерах модельное пространство является однородным пространством G/H. В первом случае G/H — аффинная плоскость, где G = Aff(R2) — аффинная группа плоскости, а H = GL(2) — соответствующая общая линейная группа. Во втором случае G/H — конформная (или небесная) сфера, где G = O+(3,1) — (ортохронная) группа Лоренца, а H — стабилизатор нулевой прямой в R3,1. Картановская геометрия S состоит из копии модельного пространства G/H в каждой точке S (с отмеченной точкой контакта) вместе с понятием "параллельного переноса" вдоль кривых, которое отождествляет эти копии с использованием элементов G. Это понятие параллельного переноса является общим в интуитивном смысле, что точка контакта всегда движется вдоль кривой. В общем случае, пусть G — группа с подгруппой H, а M — многообразие той же размерности, что и G/H. Тогда, грубо говоря, картанская связь на M — это G-связность, которая является общей относительно редукции к H.

Псевдогруппы

Картановы связности тесно связаны со структурами псевдогрупп на многообразии. Каждая из них рассматривается как модель геометрии Клейна G/H, аналогично тому, как риманова геометрия моделируется на евклидовом пространстве. На многообразии M можно представить, что к каждой точке M прикреплена копия модельного пространства G/H. Симметрия модельного пространства затем встраивается в картанскую геометрию или структуру псевдогрупп, предполагая, что модельные пространства близлежащих точек связаны преобразованием из G. Основное различие между картанской геометрией и геометрией псевдогрупп заключается в том, что симметрия для картанской геометрии связывает бесконечно близкие точки бесконечно малым преобразованием в G (то есть элементом алгебры Ли G), а аналогичное понятие симметрии для структуры псевдогрупп применяется к точкам, которые физически разделены внутри многообразия. Процесс присоединения пространств к точкам и сопутствующие симметрии может быть конкретно реализован с помощью специальных систем координат. Для каждой точки p ∈ M задается окрестность Up точки p вместе с отображением φp : Up → G/H. Таким образом, модельное пространство прикрепляется к каждой точке M, реализуя M локально в каждой точке как открытое подмножество G/H. Мы рассматриваем это как семейство координатных систем на M, параметризованных точками M. Две такие параметризованные системы координат φ и φ′ H-связаны, если существует элемент hp ∈ H, параметризованный p, такой что φ′p = hp φp. Эта свобода примерно соответствует понятию калибровки в физике. Близлежащие точки связываются соединением их кривой. Пусть p и p′ – две точки в M, соединенные кривой pt. Тогда pt задает понятие транспортировки модельного пространства вдоль кривой. Пусть τt : G/H → G/H – (локально определенное) композитное отображение τt = φpt ∘ φp0−1. Интуитивно, τt – это транспортное отображение. Структура псевдогрупп требует, чтобы τt было симметрией модельного пространства для каждого t: τt ∈ G. Картановская связь требует лишь, чтобы производная τt была симметрией модельного пространства: τ′0 ∈ g, алгебры Ли G. Типично для Картана, одной из мотиваций для введения понятия картанской связи было изучение свойств псевдогрупп с бесконечно малого угла зрения. Картановская связь определяет псевдогруппу тогда и только тогда, когда производная транспортного отображения τ′ может быть интегрирована, тем самым восстанавливая истинное (G-значное) транспортное отображение между системами координат. Таким образом, существует условие интегрируемости, и метод Картана для реализации условий интегрируемости заключался во введении дифференциальной формы. В этом случае τ′0 определяет дифференциальную форму в точке p следующим образом. Для кривой γ(t) = pt в M, начинающейся в точке p, мы можем связать касательный вектор X, а также транспортное отображение τtγ. Взятие производной определяет линейное отображение. Таким образом, θ определяет g-значную дифференциальную 1-форму на M. Эта форма, однако, зависит от выбора параметризованной системы координат. Если h : U → H – это H-отношение между двумя параметризованными системами координат φ и φ′, то соответствующие значения θ также связаны соотношением, где ωH – форма Маурера-Картана для H.