Введение

В математике категория топологических пространств, часто обозначаемая как Top, — это категория, объекты которой являются топологическими пространствами, а морфизмы — непрерывными отображениями. Эта структура является категорией, поскольку композиция двух непрерывных отображений снова является непрерывным отображением, а тождественное отображение непрерывно. Изучение Top и свойств топологических пространств с использованием методов теории категорий известно как категориальная топология. Следует отметить, что некоторые авторы используют название Top для категорий, объектами которых являются топологические многообразия, компактно порожденные пространства или компактно порожденные слабые пространства Хаусдорфа, а морфизмами — непрерывные отображения.

Другие свойства

Мономорфизмы в Top — инъективные непрерывные отображения, эпиморфизмы — сюръективные непрерывные отображения, а изоморфизмы — гомеоморфизмы. Экстремальные мономорфизмы (с точностью до изоморфизма) являются вложениями подпространств. Фактически, в Top все экстремальные мономорфизмы обладают более сильным свойством — регулярностью. Экстремальные эпиморфизмы (по существу) являются фактор-отображениями. Любой экстремальный эпиморфизм регулярен. Расщепляемые мономорфизмы (по существу) являются включениями ретрактов в их окружающее пространство. Расщепляемые эпиморфизмы (с точностью до изоморфизма) являются непрерывными сюръективными отображениями пространства на один из его ретрактов. В Top нет нулевых морфизмов, и, в частности, категория не является пред-аддитивной. Top не является картезиански замкнутой (и, следовательно, не является топосом), поскольку в ней отсутствуют экспоненциальные объекты для всех пространств. Когда эта особенность требуется, часто ограничиваются полной подкатегорией компактно порожденных пространств Хаусдорфа CGHaus или категорией компактно порожденных слабо хаусдорфовых пространств. Однако Top содержится в экспоненциальной категории псевдотопологий, которая сама является подкатегорией (также экспоненциальной) категории пространств сходимости.

Отношения с другими категориями

Категория топологических пространств Top• является кодоменной категорией над Top. Категория гомотопии hTop имеет топологические пространства в качестве объектов и классы эквивалентности гомотопии непрерывных отображений в качестве морфизмов. Это факторкатегория Top. Аналогично можно сформировать категорию заостренной гомотопии hTop•. Top содержит важную категорию Haus хаусдорфовых пространств как полную подкатегорию. Дополнительная структура этой подкатегории позволяет иметь больше эпиморфизмов: фактически, эпиморфизмы в этой подкатегории – это именно те морфизмы, имеющие плотное изображение в своих кодоменах, так что эпиморфизмы не обязаны быть сюръективными. Top содержит полную подкатегорию CGHaus компактно порожденных хаусдорфовых пространств, которая обладает важным свойством быть картезиански замкнутой категорией, при этом содержа все типичные пространства, представляющие интерес. Это делает CGHaus особенно удобной категорией топологических пространств, которая часто используется вместо Top. Забывающий функтор в Set имеет как левый, так и правый сопряженный функтор, как описано выше в разделе о конкретных категориях. Существует функтор в категорию локасов Loc, который отображает топологическое пространство в его локас открытых множеств. Этот функтор имеет правый сопряженный функтор, который отображает каждый локас в его топологическое пространство точек. Это сопряжение ограничивается эквивалентностью между категорией трезвых пространств и пространственных локасов. Гипотеза гомотопии связывает Top с ∞Grpd, категорией ∞-группоидов. Утверждается, что ∞-группоиды эквивалентны топологическим пространствам с точностью до слабой гомотопической эквивалентности.