Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Ожидаемое значение случайной величины при известных определенных условиях.
Expected value of a random variable given that certain conditions are known to occur
В теории вероятностей условное ожидание, условное ожидаемое значение или условная математическая надежда случайной величины – это её ожидаемое значение, вычисленное относительно условного распределения вероятностей. Если случайная величина может принимать только конечное число значений, то "условиями" являются ограничения, согласно которым переменная может принимать только подмножество этих значений. Более формально, в случае, когда случайная величина определена на дискретном вероятностном пространстве, "условиями" является разбиение этого пространства вероятностей. В зависимости от контекста, условное ожидание может быть как случайной величиной, так и функцией. Случайная величина обозначается аналогично условной вероятности. Функциональная форма обозначается либо , либо вводится отдельный символ функции, например, с обозначением .
In probability theory, the conditional expectation, conditional expected value, or conditional mean of a random variable is its expected value evaluated with respect to the conditional probability distribution. If the random variable can take on only a finite number of values, the "conditions" are that the variable can only take on a subset of those values. More formally, in the case when the random variable is defined over a discrete probability space, the "conditions" are a partition of this probability space. Depending on the context, the conditional expectation can be either a random variable or a function. The random variable is denoted analogously to conditional probability. The function form is either denoted or a separate function symbol such as is introduced with the meaning .
Пример 2: данные о осадках
Предположим, у нас есть данные о ежедневных осадках (в миллиметрах в день), собранные метеорологической станцией каждый день в течение десятилетнего периода (3652 дня) с 1 января 1990 года по 31 декабря 1999 года. Безусловное математическое ожидание количества осадков для любого дня – это среднее значение осадков за все 3652 дня. Условное математическое ожидание количества осадков для дня, известного как март, – это среднее значение ежедневных осадков за все 310 дней десятилетнего периода, приходящихся на март. А условное математическое ожидание количества осадков при условии, что день приходится на 2 марта, – это среднее значение осадков, выпавших в течение десяти дней с этой конкретной датой.
Suppose we have daily rainfall data (mm of rain each day) collected by a weather station on every day of the ten–year (3652 day) period from January 1, 1990, to December 31, 1999. The unconditional expectation of rainfall for an unspecified day is the average of the rainfall amounts for those 3652 days. The conditional expectation of rainfall for an otherwise unspecified day known to be (conditional on being) in the month of March, is the average of daily rainfall over all 310 days of the ten–year period that falls in March. And the conditional expectation of rainfall conditional on days dated March 2 is the average of the rainfall amounts that occurred on the ten days with that specific date.
История
Связанное понятие условной вероятности восходит как минимум к Лапласу, который вычислял условные распределения. Андрей Колмогоров в 1933 году формализовал это понятие, используя теорему Радона — Никодима.
The related concept of conditional probability dates back at least to Laplace, who calculated conditional distributions. It was Andrey Kolmogorov who, in 1933, formalized it using the Radon–Nikodym theorem.