Позиционные системы счисления: история и применение.

Введение

Метод представления или кодирования чисел

Позиционная нотация (или система счисления с местозначением, или позиционная система чисел) обычно обозначает расширение на любое основание индусско-арабской системы чисел (или десятичной системы). В более общем смысле, позиционная система – это система счисления, в которой вклад цифры в значение числа равен значению цифры, умноженному на множитель, определяемый её позицией. В ранних системах счисления, таких как римские цифры, цифра имеет только одно значение: I означает один, X – десять, а C – сто (однако значение может быть отрицательным, если оно стоит перед другой цифрой). В современных позиционных системах, таких как десятичная система, позиция цифры означает, что её значение должно быть умножено на определённую величину: в числе 555 три одинаковых символа представляют пять сотен, пять десятков и пять единиц соответственно, благодаря их различным позициям в числовой записи. Вавилонская система счисления с основанием 60 была первой разработанной позиционной системой, и её влияние ощущается и сегодня в способах подсчёта времени и углов, связанных с числом 60, например, 60 минут в часе и 360 градусов в окружности. Сегодня индусско-арабская система счисления (с основанием десять) является наиболее распространённой системой в мире. Однако двоичная система счисления (с основанием два) используется почти во всех компьютерах и электронных устройствах, поскольку её легче эффективно реализовать в электронных схемах. Описаны системы с отрицательным основанием, комплексным основанием или отрицательными цифрами. Большинство из них не требуют знака минус для обозначения отрицательных чисел. Использование разделителя целой и дробной части (десятичной точки в десятичной системе) распространяется на представление дробей и позволяет представлять любое действительное число с произвольной точностью. Позиционная нотация значительно упрощает арифметические вычисления по сравнению с любыми более старыми системами счисления, что привело к её быстрому распространению после появления в Западной Европе.

История

Сегодня десятичная система, которая, предположительно, возникла из-за счета с помощью десяти пальцев, является повсеместной. В прошлом использовались и другие системы счисления, некоторые из которых применяются и по сей день. Например, вавилонская система счисления, которую считают первой позиционной системой, имела основание 60. Однако в ней отсутствовал настоящий ноль. Изначально его можно было определить только из контекста, но позже, примерно к 700 году до н.э., ноль стали обозначать «пробелом» или «знаком препинания» (например, двумя наклонными клиньями) между числами. Это был скорее разделитель, чем истинный ноль, поскольку он не использовался самостоятельно или в конце числа. Числа, такие как 2 и 120 (2×60), выглядели одинаково, так как большему числу не хватало конечного разделителя. Различать их можно было только по контексту. Полимат Архимед (ок. 287–212 гг. до н.э.) изобрел десятичную позиционную систему в своем труде «Счетчик песка», основанную на 10⁸, что впоследствии заставило немецкого математика Карла Фридриха Гаусса сожалеть о том, каких высот достигла бы наука в его время, если бы Архимед полностью раскрыл потенциал своего гениального открытия. Эллинистические и римские астрономы использовали систему с основанием 60, основанную на вавилонской модели (см.). До того, как позиционная запись стала стандартной, использовались простые аддитивные системы (счет с помощью знаков), такие как римские цифры, а бухгалтеры в Древнем Риме и в Средние века использовали абаки или счетные камешки для арифметических вычислений. Счетные палочки и большинство абаков использовались для представления чисел в позиционной системе счисления. С помощью счетных палочек или абака для выполнения арифметических операций запись начальных, промежуточных и конечных значений вычисления можно было легко выполнить с помощью простой аддитивной системы в каждой позиции или столбце. Этот подход не требовал запоминания таблиц (как позиционная запись) и мог быстро давать практические результаты. Самая старая сохранившаяся позиционная система обозначения – это либо китайская система счетных палочек, используемая, по крайней мере, с начала VIII века, либо, возможно, кхмерская система счисления, демонстрирующая возможное использование позиционных чисел уже в VII веке. Кхмерские цифры и другие индийские цифры происходят от цифр брахми примерно III века до н.э., символы которых в то время не использовались позиционно. Средневековые индийские цифры позиционны, как и производные от них арабские цифры, зафиксированные с X века. После Французской революции (1789–1799) новое французское правительство продвигало расширение десятичной системы. Некоторые из этих усилий по внедрению десятичной системы – такие как десятичное время и десятичный календарь – не увенчались успехом. Другие французские инициативы в области десятичной системы – десятичная валюта и метрическая система мер и весов – широко распространились за пределы Франции, охватив почти весь мир.

Today, the base 10 (decimal) system, which is presumably motivated by counting with the ten fingers, is ubiquitous. Other bases have been used in the past, and some continue to be used today. For example, the Babylonian numeral system, credited as the first positional numeral system, was base 60. However, it lacked a real zero. Initially inferred only from context, later, by about 700 BC, zero came to be indicated by a "space" or a "punctuation symbol" (such as two slanted wedges) between numerals. It was a placeholder rather than a true zero because it was not used alone or at the end of a number. Numbers like 2 and 120 (2×60) looked the same because the larger number lacked a final placeholder. Only context could differentiate them. The polymath Archimedes (ca. 287–212 BC) invented a decimal positional system in his Sand Reckoner which was based on 108 and later led the German mathematician Carl Friedrich Gauss to lament what heights science would have already reached in his days if Archimedes had fully realized the potential of his ingenious discovery. Hellenistic and Roman astronomers used a base 60 system based on the Babylonian model (see ). Before positional notation became standard, simple additive systems (sign value notation) such as Roman numerals were used, and accountants in ancient Rome and during the Middle Ages used the abacus or stone counters to do arithmetic. Counting rods and most abacuses have been used to represent numbers in a positional numeral system. With counting rods or abacus to perform arithmetic operations, the writing of the starting, intermediate and final values of a calculation could easily be done with a simple additive system in each position or column. This approach required no memorization of tables (as does positional notation) and could produce practical results quickly. The oldest extant positional notation system is either that of Chinese rod numerals, used from at least the early 8th century, or perhaps Khmer numerals, showing possible usages of positional numbers in the 7th century. Khmer numerals and other Indian numerals originate with the Brahmi numerals of about the 3rd century BC, which symbols were, at the time, not used positionally. Medieval Indian numerals are positional, as are the derived Arabic numerals, recorded from the 10th century. After the French Revolution (1789–1799), the new French government promoted the extension of the decimal system. Some of those pro decimal efforts—such as decimal time and the decimal calendar—were unsuccessful. Other French pro decimal efforts—currency decimalisation and the metrication of weights and measures—spread widely out of France to almost the whole world.

История позиционных дробей

Дж. Леннарт Берггрен отмечает, что позиционные десятичные дроби впервые использовались арабским математиком Абу'ль Хасаном аль-Уклидиси еще в X веке. Еврейский математик Иммануэль Бонфильс использовал десятичные дроби около 1350 года, но не разработал обозначений для их представления. Персидский математик Джамшид аль-Каши сделал аналогичное открытие десятичных дробей в XV веке. Эта форма дроби, с числителем над знаменателем без горизонтальной черты, также использовалась Абу'ль Хасаном аль-Уклидиси в X веке и в работе Джамшида аль-Каши "Арифметический ключ" XV века. Принятие десятичного представления чисел, меньших единицы, то есть дробей, часто приписывается Симону Стевину в его учебнике De Thiende; однако и Стевин, и Э. Й. Дейкстерхуис указывают на вклад Региомонтана в распространение десятичных чисел в Европе: европейские математики, переняв у индусов, через арабов, идею позиционной системы счисления для целых чисел, не стали распространять эту идею на дроби. На протяжении нескольких столетий они ограничивались использованием обыкновенных и шестидесятеричных дробей. Эта незавершенность сохраняется и по сей день, и шестидесятеричные дроби по-прежнему лежат в основе нашей тригонометрии, астрономии и измерения времени. ¶ Математики стремились избегать дробей, принимая радиус R равным числу единиц длины вида 10n, а затем выбирая для n достаточно большое целое значение, чтобы все возникающие величины можно было выразить с достаточной точностью целыми числами. Первым, кто применил этот метод, был немецкий астроном Региомонтан. В той мере, в какой он выражал гониометрические отрезки в единицах R/10n, Региомонтана можно считать предтечей учения о десятичных позиционных дробях. Например, восьмеричное число 238 содержит две цифры: "2" и "3", а также основание (в виде нижнего индекса) "8". При переводе в десятичную систему счисления число 238 эквивалентно 1910, то есть 2388 = 1910. В нашей нотации здесь нижний индекс "8" числа 238 является частью числа, но это не всегда так. Представьте себе число "23" с неопределенным основанием. Тогда "23" может быть представлено в любой системе счисления с основанием 4 и выше. В системе с основанием 4 число "23" означает 1110, то есть 234 = 1110. В системе с основанием 60 число "23" означает число 12310, то есть 2360 = 12310. Таким образом, число "23" в данном случае соответствует множеству десятичных чисел {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, ..., 121, 123}, в то время как цифры "2" и "3" всегда сохраняют свое первоначальное значение: "2" означает "два из", а "3" означает "три из". В некоторых приложениях, когда число с фиксированным количеством позиций должно представлять большее число, можно использовать систему счисления с большим основанием и большим количеством цифр в каждой позиции. Трехзначное десятичное число может представлять только числа до 999. Но если увеличить основание до 11, например, добавив цифру "А", то те же три позиции, максимальное значение которых будет "AAA", смогут представлять число, равное 1330. Мы могли бы снова увеличить основание и присвоить "B" значение 11 и так далее (но также существует возможное шифрование между числом и цифрой в иерархии числовых и цифровых обозначений). Трехзначное число "ZZZ" в системе с основанием 60 может означать 215999. Если мы используем всю коллекцию буквенно-цифровых символов, мы в конечном итоге сможем использовать систему счисления с основанием 62, но мы удаляем две цифры, заглавную "I" и заглавную "O", чтобы избежать путаницы с цифрами "1" и "0". В результате остается система с основанием 60, или шестидесятеричная система счисления, использующая 60 из 62 стандартных буквенно-цифровых символов. (Но см. раздел "Шестидесятеричная система" ниже.) В общем, количество возможных значений, которые могут быть представлены цифрой в системе с основанием , равно . Распространенные системы счисления в информатике — двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16). В двоичной системе используются только цифры "0" и "1". В восьмеричной системе используются восемь цифр: 0–7. В шестнадцатеричной системе используются цифры 0–9 и буквы A–F, где цифры сохраняют свое обычное значение, а буквы соответствуют значениям 10–15, в общей сложности шестнадцать цифр. Число "10" в двоичной системе — это "2", в восьмеричной — "8", а в шестнадцатеричной — "16".

J. Lennart Berggren notes that positional decimal fractions were used for the first time by Arab mathematician Abu'l Hasan al Uqlidisi as early as the 10th century. The Jewish mathematician Immanuel Bonfils used decimal fractions around 1350, but did not develop any notation to represent them. The Persian mathematician Jamshīd al Kāshī made the same discovery of decimal fractions in the 15th century. This form of fraction with numerator on top and denominator at bottom without a horizontal bar was also used by 10th century Abu'l Hasan al Uqlidisi and 15th century Jamshīd al Kāshī's work "Arithmetic Key". The adoption of the decimal representation of numbers less than one, a fraction, is often credited to Simon Stevin through his textbook De Thiende; but both Stevin and E. J. Dijksterhuis indicate that Regiomontanus contributed to the European adoption of general decimals:
European mathematicians, when taking over from the Hindus, via the Arabs, the idea of positional value for integers, neglected to extend this idea to fractions. For some centuries they confined themselves to using common and sexagesimal fractions This half heartedness has never been completely overcome, and sexagesimal fractions still form the basis of our trigonometry, astronomy and measurement of time. ¶ Mathematicians sought to avoid fractions by taking the radius R equal to a number of units of length of the form 10n and then assuming for n so great an integral value that all occurring quantities could be expressed with sufficient accuracy by integers. ¶ The first to apply this method was the German astronomer Regiomontanus. To the extent that he expressed goniometrical line segments in a unit R/10n, Regiomontanus may be called an anticipator of the doctrine of decimal positional fractions. For example, the base 8 numeral 238 contains two digits, "2" and "3", and with a base number (subscripted) "8". When converted to base 10, the 238 is equivalent to 1910, i. e. 238 = 1910. In our notation here, the subscript "8" of the numeral 238 is part of the numeral, but this may not always be the case. Imagine the numeral "23" as having an ambiguous base number. Then "23" could likely be any base, from base 4 up. In base 4, the "23" means 1110, i. e. 234 = 1110. In base 60, the "23" means the number 12310, i. e. 2360 = 12310. The numeral "23" then, in this case, corresponds to the set of base 10 numbers {11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, , 121, 123} while its digits "2" and "3" always retain their original meaning: the "2" means "two of", and the "3" means "three of". In certain applications when a numeral with a fixed number of positions needs to represent a greater number, a higher number base with more digits per position can be used. A three digit, decimal numeral can represent only up to 999. But if the number base is increased to 11, say, by adding the digit "A", then the same three positions, maximized to "AAA", can represent a number as great as 1330. We could increase the number base again and assign "B" to 11, and so on (but there is also a possible encryption between number and digit in the number digit numeral hierarchy). A three digit numeral "ZZZ" in base 60 could mean 215999. If we use the entire collection of our alphanumerics we could ultimately serve a base 62 numeral system, but we remove two digits, uppercase "I" and uppercase "O", to reduce confusion with digits "1" and "0". We are left with a base 60, or sexagesimal numeral system utilizing 60 of the 62 standard alphanumerics. (But see Sexagesimal system below.) In general, the number of possible values that can be represented by a digit number in base is
The common numeral systems in computer science are binary (radix 2), octal (radix 8), and hexadecimal (radix 16). In binary only digits "0" and "1" are in the numerals. In the octal numerals, are the eight digits 0–7. Hex is 0–9 A–F, where the ten numerics retain their usual meaning, and the alphabetics correspond to values 10–15, for a total of sixteen digits. The numeral "10" is binary numeral "2", octal numeral "8", or hexadecimal numeral "16".

Точка радикса

Обозначение можно расширить на отрицательные степени основания b. Для этого используется так называемая точка радикса, чаще всего «.», как разделитель между позициями с неотрицательными и отрицательными степенями. Числа, не являющиеся целыми, используют разряды после точки радикса. Для каждого разряда после этой точки (и, следовательно, после разряда единиц), степень n в выражении bn уменьшается на 1 и стремится к 0. Например, число 2.35 равно:

Подпись

Если основание и все цифры в наборе цифр неотрицательны, отрицательные числа не могут быть представлены. Чтобы это преодолеть, в систему счисления добавляется знак минуса, здесь «». В стандартной записи он ставится перед строкой цифр, представляющей в противном случае неотрицательное число.

Сексагезимальная система

Сексагезимальная система, или система с основанием 60, использовалась для целой и дробной частей вавилонских чисел и других месопотамских систем, эллинистическими астрономами (причем только для дробной части использовались греческие цифры), и до сих пор применяется для измерения времени и углов, но лишь для минут и секунд. Однако не все эти применения были позиционными. Современное время разделяет разряды двоеточием или штрихом. Например, время может быть указано как 10:25:59 (10 часов 25 минут 59 секунд). Аналогичная нотация используется и для углов. Например, угол может быть 10°25′59″ (10 градусов 25 минут 59 секунд). В обоих случаях сексагезимальная нотация применяется только к минутам и секундам – угловые градусы могут превышать 59 (полный оборот круга составляет 360°, два оборота – 720° и т.д.), а время и углы используют десятичные доли секунды. Это отличается от чисел, использовавшихся эллинистическими и астрономами эпохи Возрождения, которые для более точных измерений применяли трети, четверти и т.п. Там, где мы можем записать 10°25′59.392″, они могли бы записать или 10°25i59ii23iii31iv12v. Использование набора цифр, включающего строчные и прописные буквы, позволяет сокращенно записывать числа в сексагезимальной системе, например, 10:25:59 можно записать как 'ARz' (исключая I и O, но не i и o), что удобно для использования в URL-адресах и т.п., однако такая запись малопонятна для человека. В 1930-х годах Отто Нойгебауэр предложил современную систему обозначения вавилонских и эллинистических чисел, заменяющую десятичные числа от 0 до 59 в каждом разряде, при этом для разделения целой и дробной частей используется точка с запятой (;), а для разделения разрядов внутри каждой части – запятая (,). Например, средний синодический месяц, использовавшийся как вавилонскими, так и эллинистическими астрономами и до сих пор применяемый в еврейском календаре, составляет 29;31,50,8,20 дней, а угол из приведенного выше примера будет записан как 10;25,59,23,31,12 градусов.

Вычислительные технологии

В вычислительной технике наиболее часто используются двоичная (основание 2), восьмеричная (основание 8) и шестнадцатеричная (основание 16) системы счисления. Компьютеры, на самом базовом уровне, работают только с последовательностями нулей и единиц, поэтому в этом смысле удобнее использовать степени двойки. Шестнадцатеричная система используется как сокращенная запись для двоичной – каждые 4 двоичных разряда (бита) соответствуют одному и только одному шестнадцатеричному разряду. В шестнадцатеричной системе шесть разрядов после 9 обозначаются буквами A, B, C, D, E и F (а иногда a, b, c, d, e и f). Восьмеричная система счисления также используется как еще один способ представления двоичных чисел. В этом случае основание равно 8, и поэтому используются только цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. При преобразовании из двоичной в восьмеричную каждый 3 бита соответствуют одному и только одному восьмеричному разряду. Шестнадцатеричные, десятичные, восьмеричные и множество других систем счисления использовались для кодирования двоичного текста, реализации арифметики произвольной точности и других приложений. Список систем счисления и их применения см. в статье «Список систем счисления».

Другие основы человеческого языка

Системы с основанием 12 (двенадцатеричные или дуодецимальные) были популярны, поскольку умножение и деление в них проще, чем в десятичной системе, а сложение и вычитание столь же легки. Двенадцать – удобное основание, так как имеет много делителей. Это наименьшее общее кратное чисел 1, 2, 3, 4 и 6. В английском языке до сих пор существует специальное слово для обозначения "дюжины", и по аналогии со словом для 100 – "сотня", в торговле появилось слово для 144 – "gross". Стандартные 12-часовые часы и частое использование числа 12 в английских единицах измерения подчеркивают полезность этого основания. Кроме того, до перехода на десятичную систему британская валюта фунт стерлингов (GBP) частично использовала основание 12: в одном шиллинге (s) было 12 пенсов (d), в одном фунте (£) – 20 шиллингов, а значит, в одном фунте – 240 пенсов. Отсюда и обозначение LSD или, более правильно, £sd. Цивилизация майя и другие цивилизации доколумбовой Мезоамерики использовали основание 20 (вигезимальное), как и некоторые североамериканские племена (в частности, два племени в южной Калифорнии). Свидетельства вигезимальных систем счисления встречаются также в языках центральной и западной Африки. Следы галльской вигезимальной системы сохранились и во французском языке, что проявляется в названиях чисел от 60 до 99. Например, шестьдесят пять – soixante cinq (буквально "шестьдесят [и] пять"), а семьдесят пять – soixante quinze (буквально "шестьдесят [и] пятнадцать"). Более того, для любого числа от 80 до 99 число в "десяточном разряде" выражается как кратное двадцати. Например, восемьдесят два – quatre vingt deux (буквально "четыре двадцати [и] два"), а девяносто два – quatre vingt douze (буквально "четыре двадцати [и] двенадцать"). В старофранцузском сорок выражалось как "два двадцати", а шестьдесят – как "три двадцати", поэтому пятьдесят три выражалось как "два двадцати [и] тринадцать" и так далее. В английском языке тот же вигезимальный счет проявляется в использовании слова "score" (двадцать). Хотя в основном это историзм, он иногда используется в разговорной речи. 10-й стих 90-го Псалма в Библии (версия короля Иакова) начинается так: "Дни лет наших – семьдесят лет, а при большей крепости – восемьдесят лет; но лучшие из них – труд и скорбь". Начало Геттисбергской речи: "Четыреста семь лет назад…". Ирландский язык также использовал основание 20 в прошлом: двадцать – fichid, сорок – dhá fhichid, шестьдесят – trí fhichid, а восемьдесят – ceithre fhichid. Следы этой системы можно увидеть в современном слове для 40 – daoichead. В валлийском языке по-прежнему используется вигезимальная система счисления, особенно при указании возраста, дат и в распространенных фразах. Число 15 также важно, а числа от 16 до 19 выражаются как "один на 15", "два на 15" и т.д. Число 18 обычно выражается как "два девяти". Обычно используется десятичная система. Языки инуитов используют вигезимальную систему счисления. Ученики из Кактовика (Аляска) изобрели вигезимальную систему счисления в 1994 году. Датские числительные имеют аналогичную структуру, основанную на числе 20. В языке маори (Новая Зеландия) также есть свидетельства базовой вигезимальной системы, что проявляется в терминах Te Hokowhitu a Tu (военный отряд, буквально "семь двадцати Ту") и Tama hokotahi (великий воин, буквально "один человек, равный двадцати"). Двоичная система использовалась в Древнем царстве Египта (3000–2050 гг. до н.э.). Она заключалась в округлении рациональных чисел, меньших 1, до ближайших 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/64, при этом член 1/64 отбрасывался (система называлась "Око Гора"). В ряде языков австралийских аборигенов используются двоичные или близкие к двоичным системы счисления. Например, в языке Kala Lagaw Ya числа от одного до шести – urapon, ukasar, ukasar urapon, ukasar ukasar, ukasar ukasar urapon, ukasar ukasar ukasar. Коренные народы Северной и Центральной Америки использовали основание 4 (четверичное) для обозначения четырех сторон света. Мезоамериканцы часто добавляли вторую систему с основанием 5, чтобы создать модифицированную вигезимальную систему. Система с основанием 5 (квинарная) использовалась во многих культурах для счета. Очевидно, что она основана на количестве пальцев на руке человека. Ее также можно рассматривать как подбазу других систем, таких как десятичная, вигезимальная и шестидесятеричная. Племя Юки из Северной Калифорнии разработало восьмеричную систему (октальную), используя промежутки между пальцами для счета, соответствующие цифрам от одного до восьми. Существуют также лингвистические данные, свидетельствующие о том, что протоиндоевропейцы бронзового века (от которых произошли большинство европейских и индийских языков) могли заменить восьмеричную систему (или систему, которая могла считать только до 8) на десятичную. Свидетельством этого является то, что слово для обозначения 9 – newm – предположительно происходит от слова "новый" – newo, что указывает на то, что число 9 было недавно изобретено и названо "новым числом". Многие древние системы счисления используют число пять в качестве основной базы, что, несомненно, связано с количеством пальцев на руке человека. Часто эти системы дополняются вторичной базой, иногда десятичной, иногда двадцатичной. В некоторых африканских языках слово для обозначения пяти совпадает со словом "рука" или "кулак" (язык дьола в Гвинее-Бисау, язык банда в Центральной Африке). Счет продолжается путем добавления 1, 2, 3 или 4 к комбинациям из 5, пока не будет достигнута вторичная база. В случае двадцати это слово часто означает "полный человек". Эта система называется квинквавигезимальной. Она встречается во многих языках региона Судана. Язык телефол, на котором говорят в Папуа – Новой Гвинее, примечателен тем, что имеет вигезимасемичную систему счисления.

Base 12 systems (duodecimal or dozenal) have been popular because multiplication and division are easier than in base 10, with addition and subtraction being just as easy. Twelve is a useful base because it has many factors. It is the smallest common multiple of one, two, three, four and six. There is still a special word for "dozen" in English, and by analogy with the word for 102, hundred, commerce developed a word for 122, gross. The standard 12 hour clock and common use of 12 in English units emphasize the utility of the base. In addition, prior to its conversion to decimal, the old British currency Pound Sterling (GBP) partially used base 12; there were 12 pence (d) in a shilling (s), 20 shillings in a pound (£), and therefore 240 pence in a pound. Hence the term LSD or, more properly, £sd. The Maya civilization and other civilizations of pre Columbian Mesoamerica used base 20 (vigesimal), as did several North American tribes (two being in southern California). Evidence of base 20 counting systems is also found in the languages of central and western Africa. Remnants of a Gaulish base 20 system also exist in French, as seen today in the names of the numbers from 60 through 99. For example, sixty five is soixante cinq (literally, "sixty [and] five"), while seventy five is soixante quinze (literally, "sixty [and] fifteen"). Furthermore, for any number between 80 and 99, the "tens column" number is expressed as a multiple of twenty. For example, eighty two is quatre vingt deux (literally, four twenty[s] [and] two), while ninety two is quatre vingt douze (literally, four twenty[s] [and] twelve). In Old French, forty was expressed as two twenties and sixty was three twenties, so that fifty three was expressed as two twenties [and] thirteen, and so on. In English the same base 20 counting appears in the use of "scores". Although mostly historical, it is occasionally used colloquially. Verse 10 of Psalm 90 in the King James Version of the Bible starts: "The days of our years are threescore years and ten; and if by reason of strength they be fourscore years, yet is their strength labour and sorrow". The Gettysburg Address starts: "Four score and seven years ago". The Irish language also used base 20 in the past, twenty being fichid, forty dhá fhichid, sixty trí fhichid and eighty ceithre fhichid. A remnant of this system may be seen in the modern word for 40, daoichead. The Welsh language continues to use a base 20 counting system, particularly for the age of people, dates and in common phrases. 15 is also important, with 16–19 being "one on 15", "two on 15" etc. 18 is normally "two nines". A decimal system is commonly used. The Inuit languages use a base 20 counting system. Students from Kaktovik, Alaska invented a base 20 numeral system in 1994

Danish numerals display a similar base 20 structure. The Māori language of New Zealand also has evidence of an underlying base 20 system as seen in the terms Te Hokowhitu a Tu referring to a war party (literally "the seven 20s of Tu") and Tama hokotahi, referring to a great warrior ("the one man equal to 20"). The binary system was used in the Egyptian Old Kingdom, 3000 BC to 2050 BC. It was cursive by rounding off rational numbers smaller than 1 to 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64, with a 1/64 term thrown away (the system was called the Eye of Horus). A number of Australian Aboriginal languages employ binary or binary like counting systems. For example, in Kala Lagaw Ya, the numbers one through six are urapon, ukasar, ukasar urapon, ukasar ukasar, ukasar ukasar urapon, ukasar ukasar ukasar. North and Central American natives used base 4 (quaternary) to represent the four cardinal directions. Mesoamericans tended to add a second base 5 system to create a modified base 20 system. A base 5 system (quinary) has been used in many cultures for counting. Plainly it is based on the number of digits on a human hand. It may also be regarded as a sub base of other bases, such as base 10, base 20, and base 60. A base 8 system (octal) was devised by the Yuki tribe of Northern California, who used the spaces between the fingers to count, corresponding to the digits one through eight. There is also linguistic evidence which suggests that the Bronze Age Proto Indo Europeans (from whom most European and Indic languages descend) might have replaced a base 8 system (or a system which could only count up to 8) with a base 10 system. The evidence is that the word for 9, newm, is suggested by some to derive from the word for "new", newo , suggesting that the number 9 had been recently invented and called the "new number". Many ancient counting systems use five as a primary base, almost surely coming from the number of fingers on a person's hand. Often these systems are supplemented with a secondary base, sometimes ten, sometimes twenty. In some African languages the word for five is the same as "hand" or "fist" (Dyola language of Guinea Bissau, Banda language of Central Africa). Counting continues by adding 1, 2, 3, or 4 to combinations of 5, until the secondary base is reached. In the case of twenty, this word often means "man complete". This system is referred to as quinquavigesimal. It is found in many languages of the Sudan region. The Telefol language, spoken in Papua New Guinea, is notable for possessing a base 27 numeral system.

Непозиционные позиции

Каждая позиция не обязательно должна быть позиционной сама по себе. Вавилонские сексагесимальные числа были позиционными, но в каждой позиции использовались группы из двух видов клиновидных знаков, обозначающих единицы и десятки (узкий вертикальный клин | для единицы и открытый клин, направленный влево ⟨ для десятки) — до 5+9=14 символов в позиции (то есть 5 десятков ⟨⟨⟨⟨⟨ и 9 единиц ||||||||| группировались в один или два почти квадрата, содержащих до трех ярусов символов, или использовался пропуск (\\) для обозначения отсутствия значения в позиции). Эллинистические астрономы использовали для каждой позиции одну или две греческие буквы, представляющие числа (одну из 5 букв, обозначающих 10–50, и/или одну из 9 букв, обозначающих 1–9, или символ нуля).