Введение
Двойное простое число — это простое число, которое либо на 2 меньше, либо на 2 больше другого простого числа, например, один из членов пары двойных простых чисел 3 и 5, или 5 и 7. Иными словами, двойное простое число — это простое число, имеющее промежуток между соседними простыми числами, равный двум. Иногда термин «двойное простое число» используется для обозначения пары двойных простых чисел; альтернативным названием для этого является пара простых чисел-близнецов. Двойные простые числа становятся все более редкими при рассмотрении больших диапазонов, что соответствует общей тенденции увеличения промежутков между соседними простыми числами с ростом самих чисел. Однако неизвестно, существует ли бесконечно много двойных простых чисел (так называемая гипотеза о двойных простых числах) или существует наибольшая пара. Прорывные работы Итан Чжана в 2013 году, а также работы Джеймса Мейнарда, Теренса Тао и других, позволили добиться существенного прогресса в доказательстве того, что существует бесконечно много двойных простых чисел, но на данный момент эта задача остается нерешенной.
A twin prime is a prime number that is either 2 less or 2 more than another prime number—for example, either member of the twin prime pair or In other words, a twin prime is a prime that has a prime gap of two. Sometimes the term twin prime is used for a pair of twin primes; an alternative name for this is prime twin or prime pair. Twin primes become increasingly rare as one examines larger ranges, in keeping with the general tendency of gaps between adjacent primes to become larger as the numbers themselves get larger. However, it is unknown whether there are infinitely many twin primes (the so called twin prime conjecture) or if there is a largest pair. The breakthrough
work of Yitang Zhang in 2013, as well as work by James Maynard, Terence Tao and others, has made substantial progress towards proving that there are infinitely many twin primes, but at present this remains unsolved.
Первая гипотеза Харди-Литлвуд
Первая гипотеза Харди — Литтлвуда (названа в честь Г. Х. Харди и Джона Литтлвуда) является обобщением гипотезы о простых числах-близнецах. Она связана с распределением простых созвездий, включая простые числа-близнецы, по аналогии с теоремой о простых числах. Пусть π₂(x) обозначает количество простых чисел p ≤ x, таких что p + 2 также является простым числом. Определим постоянную для простых чисел-близнецов как
(Здесь произведение берется по всем простым числам p ≥ 3.) Тогда частный случай первой гипотезы Харди — Литтлвуда заключается в том, что
в том смысле, что отношение двух выражений стремится к 1 при x, стремящемся к бесконечности. Она содержит 388 342 десятичные цифры и была обнаружена в сентябре 2016 года. Существует 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов, меньших чем
Эмпирический анализ всех пар простых чисел до 4,35 × показывает, что если число таких пар, меньших x, равно f(x), то f(x) приблизительно равно 1,7 для малых x и уменьшается до примерно 1,3 при x, стремящемся к бесконечности. Предполагается, что предельное значение f(x) равно удвоенной постоянной для простых чисел-близнецов (не путать с постоянной Бруна), согласно гипотезе Харди — Литтлвуда.
An empirical analysis of all prime pairs up to 4.35 × shows that if the number of such pairs less than x is then f (x) is about 1.7 for small x and decreases towards about 1.3 as x tends to infinity. The limiting value of f (x) is conjectured to equal twice the twin prime constant (not to be confused with Brun's constant), according to the Hardy–Littlewood conjecture.