Кіріспе
Математикада гомотопия принципі (немесе h принципі) — бөлшектік дифференциалдық теңдеулерді (БДТ) және жалпырақ айтқанда, бөлшектік дифференциалдық қатынастарды (БДҚ) шешудің өте жалпы жолы. h принципі, анықталмаған БДТ немесе БДҚ үшін тиімді, мысалы, батыру мәселесі, изометриялық батыру мәселесі, сұйықтық динамикасы және басқа да салаларда қолданылады. Бұл теорияны Яков Елиашберг, Михаил Громов және Энтони В. Филлипс қалыптастырған. Ол, ішінара дифференциалдық қатынастарды гомотопияға дейін тоғыстыратын, бұрынғы нәтижелерге негізделген, әсіресе батырулар үшін. h принципіне алғашқы куәлік Уитни-Грауштейн теоремасында кездеседі. Одан кейін Нэш-Куйпер изометриялық C1 енгізу теоремасы және Смале-Хирш батыру теоремасы пайда болды.
Ұшақтағы көлік
Тағы бір қарапайым мысал ретінде, жазықтықта қозғалатын автомобильді қарастырайық. Автомобильдің жазықтықтағы орны үш параметрмен анықталады: екі координата – x және y орналасуы үшін (жақсы таңдау – артқы дөңгелектер арасындағы орта нүктенің орналасуы) және автомобильдің бағытын сипаттайтын бұрыш θ. Автомобильдің қозғалысы теңдеуді қанағаттандырады, өйткені сырғанамайтын автомобиль өзінің дөңгелектерінің бағытында қозғалуы керек. Робототехника тұрғысынан алғанда, міндеттік кеңістіктегі барлық жолдар холономиялық емес. Бұл жағдайда холономиялық емес шешім, шамамен айтқанда, жазықтықта сырғанау арқылы автомобильдің қозғалысына сәйкес келеді. Бұл жағдайда холономиялық емес шешімдер голономиялық шешімдерге гомотоптық ғана емес, сонымен қатар голономиялық шешімдермен кездейсоқ жақсы жуықтастырылуы мүмкін (артқа және алға барып, шектеулі кеңістікте параллель паркинг жасау сияқты). Бұл теориялық тұрғыдан алғанда, автомобиль ұзындығынан артық кез келген кеңістікте параллель паркинг жасауға болады дегенді білдіреді. Бұл сондай-ақ контакттық 3-көптемедегі кез келген қисық Легендрия қисығына жақын екенін білдіреді. Бұл соңғы қасиет жалпы h-принципінен күштірек; ол тығыз h-принципі деп аталады. Бұл мысал қарапайым болса да, Нэштің кіріктіру теоремасымен, атап айтқанда Нэш-Куйпер теоремасымен салыстырыңыз, онда ℝⁿ немесе одан үлкен кеңістіктегі кез келген қысқа тегіс кіріктіру немесе шомылу изометриялық кіріктірумен (сәйкесінше, шомылу) кездейсоқ жақсы жуықтастырылуы мүмкін. Бұл да тығыз h-принципі болып табылады және ұшақтағы автомобильге ұқсас «қақырысу» – немесе керісінше, айналу – әдісімен дәлелделуі мүмкін, бірақ ол әлдеқайда күрделі.
since a non skidding car must move in the direction of its wheels. In robotics terms, not all paths in the task space are holonomic. A non holonomic solution in this case, roughly speaking, corresponds to a motion of the car by sliding in the plane. In this case the non holonomic solutions are not only homotopic to holonomic ones but also can be arbitrarily well approximated by the holonomic ones (by going back and forth, like parallel parking in a limited space) – note that this approximates both the position and the angle of the car arbitrarily closely. This implies that, theoretically, it is possible to parallel park in any space longer than the length of your car. It also implies that, in a contact 3 manifold, any curve is close to a Legendrian curve. This last property is stronger than the general h principle; it is called the dense h principle. While this example is simple, compare to the Nash embedding theorem, specifically the Nash–Kuiper theorem, which says that any short smooth embedding or immersion of in or larger can be arbitrarily well approximated by an isometric embedding (respectively, immersion). This is also a dense h principle, and can be proven by an essentially similar "wrinkling" – or rather, circling – technique to the car in the plane, though it is much more involved.