Введение
В математике принцип гомотопии (или h-принцип) — это очень общий метод решения частных дифференциальных уравнений (PDEs) и, в более общем случае, частных дифференциальных соотношений (PDRs). H-принцип особенно эффективен для уравнений или соотношений с недостаточным количеством условий, таких как задача погружения, задача изометрического погружения, гидродинамика и другие области. Теорию заложили Яков Элиашберг, Михаил Громов и Энтони В. Филлипс. Она базировалась на более ранних результатах, сводивших частные дифференциальные соотношения к гомотопии, в частности, для погружений. Первые признаки h-принципа проявились в теореме Уитни — Грауштейна. Затем появились теорема Нэша — Куйпера об изометрическом C¹-вложении и теорема Смаля — Хирша о погружении.
Машина в самолете
Другой простой пример – автомобиль, движущийся в плоскости. Положение автомобиля в плоскости определяется тремя параметрами: двумя координатами *x* и *y* для местоположения (хороший выбор – местоположение середины между задними колесами) и углом *θ*, описывающим ориентацию автомобиля. Движение автомобиля удовлетворяет уравнению, поскольку автомобиль, не допускающий скольжения, должен двигаться в направлении своих колес. С точки зрения робототехники, не все пути в пространстве задач являются голономными. Нехолономное решение в этом случае, грубо говоря, соответствует движению автомобиля, скользя по плоскости. В этом случае нехолономные решения не только гомотопны голономным, но также могут быть произвольно хорошо приближены голономными (путем движения вперед и назад, как при параллельной парковке в ограниченном пространстве) – обратите внимание, что это приближает как положение, так и угол автомобиля произвольно близко. Это означает, что теоретически можно припарковаться на любом месте, длина которого больше длины автомобиля. Это также подразумевает, что в контактном 3-м многообразии любая кривая близка к кривой Лежандра. Это последнее свойство сильнее, чем общий принцип *h*; оно называется принципом плотного *h*. Хотя этот пример прост, сравните его с теоремой о вложении Нэша, в частности теоремой Нэша–Куйпера, которая утверждает, что любое короткое гладкое вложение или погружение из ℝⁿ в ℝᵐ или пространство большей размерности может быть произвольно хорошо приближено изометрическим вложением (соответственно, погружением). Это также принцип плотного *h*, и может быть доказано по существу аналогичной техникой «скручивания» – или, скорее, обхода по окружности – к автомобилю в плоскости, хотя она гораздо сложнее.
since a non skidding car must move in the direction of its wheels. In robotics terms, not all paths in the task space are holonomic. A non holonomic solution in this case, roughly speaking, corresponds to a motion of the car by sliding in the plane. In this case the non holonomic solutions are not only homotopic to holonomic ones but also can be arbitrarily well approximated by the holonomic ones (by going back and forth, like parallel parking in a limited space) – note that this approximates both the position and the angle of the car arbitrarily closely. This implies that, theoretically, it is possible to parallel park in any space longer than the length of your car. It also implies that, in a contact 3 manifold, any curve is close to a Legendrian curve. This last property is stronger than the general h principle; it is called the dense h principle. While this example is simple, compare to the Nash embedding theorem, specifically the Nash–Kuiper theorem, which says that any short smooth embedding or immersion of in or larger can be arbitrarily well approximated by an isometric embedding (respectively, immersion). This is also a dense h principle, and can be proven by an essentially similar "wrinkling" – or rather, circling – technique to the car in the plane, though it is much more involved.