Кіріспе
Күрделі көпмәнді функциялар үшін қызығушылық тудыратын нүкте. Күрделі анализдің математикалық саласында көпмәнді функцияның тармақ нүктесі (күрделі анализ контекстінде көбінесе "көпфункция" деп аталады) – егер функция сол нүктеде n мәнді болса (n мәнге ие болса), оның барлық айналасында n-нен артық мәні бар нүктелер кездеседі. Көпмәнді функциялар Риман беттерін пайдалана отырып мұқият зерттеледі, ал тармақ нүктелерінің формалды анықтамасы осы ұғымға негізделген. Тармақ нүктелері үш негізгі санатқа бөлінеді: алгебралық тармақ нүктелері, трансценденттік тармақ нүктелері және логарифмдік тармақ нүктелері. Алгебралық тармақ нүктелері көбінесе түбірді алудағы беймағылданғандықтан туындайды, мысалы, w² = z теңдеуін w функциясы ретінде z-ға қатысты шешу. Бұл жерде тармақ нүктесі – нөл нүктесі, себебі нөл нүктесін қамтитын жабық контур бойындағы кез келген шешімнің аналитикалық жалғасуы басқа функцияға әкеледі: тривиальды емес монодромия бар. Алгебралық тармақ нүктесіне қарамастан, w функциясы көпмәнді функция ретінде жақсы анықталған және тиісті мағынада нөл нүктесінде үздіксіз болады. Бұл трансценденттік және логарифмдік тармақ нүктелерінен өзгеше, яғни көпмәнді функцияның тривиальды емес монодромиясы және маңызды сингулярлығы бар нүктелер. Геометриялық функциялар теориясында "тармақ нүктесі" терминінің шектеусіз қолданылуы көбінесе бұрынғы, шектеулі түрді білдіреді: алгебралық тармақ нүктелері. Күрделі анализдің басқа салаларында бұл термин трансценденттік типтегі жалпы тармақ нүктелеріне де сілтеме жасауы мүмкін.
In the mathematical field of complex analysis, a branch point of a multi valued function (usually referred to as a "multifunction" in the context of complex analysis) is a point such that if the function is n valued (has n values) at that point, all of its neighborhoods contain a point that has more than n values. Multi valued functions are rigorously studied using Riemann surfaces, and the formal definition of branch points employs this concept. Branch points fall into three broad categories: algebraic branch points, transcendental branch points, and logarithmic branch points. Algebraic branch points most commonly arise from functions in which there is an ambiguity in the extraction of a root, such as solving the equation w2 = z for w as a function of z. Here the branch point is the origin, because the analytic continuation of any solution around a closed loop containing the origin will result in a different function: there is non trivial monodromy. Despite the algebraic branch point, the function w is well defined as a multiple valued function and, in an appropriate sense, is continuous at the origin. This is in contrast to transcendental and logarithmic branch points, that is, points at which a multiple valued function has nontrivial monodromy and an essential singularity. In geometric function theory, unqualified use of the term branch point typically means the former more restrictive kind: the algebraic branch points. In other areas of complex analysis, the unqualified term may also refer to the more general branch points of transcendental type.
Алгебралық тармақ нүктелері
Комплекс жазықтықтағы байланысты ашық жиын және голоморфты функция болсын. Егер функция тұрақты болмаса, онда оның сындық нүктелерінің жиыны, яғни туындысының нөлдері, шекті нүктесіне ие болмайды. Сондықтан, әрбір сындық нүкте функцияның жабылуында басқа сындық нүктесі жоқ дискінің ортасында жатады. болсын – оң бағытта алынған шекарасы. нүктесіне қатысты функцияның оралым саны – тармақталу индексі деп аталатын оң бүтін сан. Егер тармақталу индексі 1-ден үлкен болса, онда функцияның тармақталу нүктесі деп аталады, ал сәйкес сындық мән – (алгебралық) тармақталу нүктесі деп аталады. Балама түсіндіру бойынша, егер функцияның маңында үшін анықталған голоморфты функция болса, онда функция тармақталу нүктесі болып табылады, мұнда – бүтін сан. Көбінесе функцияның өзі емес, кері функция қызығушылық тудырады. Дегенмен, тармақталу нүктесінің маңындағы голоморфты функцияның керісі дұрыс анықталмайды, сондықтан оны көпмәнді мағынада жаһандық аналитикалық функция ретінде анықтауға тура келеді. Тілді дұрыс емес қолдануға болады және функцияның тармақталу нүктесін жаһандық аналитикалық функцияның тармақталу нүктесі деп атауға болады. Басқаша айтқанда, жасыратын түрде анықталатын сияқты, көпмәнді жаһандық аналитикалық функциялардың басқа түрлері үшін де тармақталу нүктелерінің жалпы анықтамалары мүмкін. Мұндай мысалдармен жұмыс істеу үшін біріктіруші құрал Риман беттерінің тілінде ұсынылады. Атап айтқанда, осы жалпы суретте 1-ден жоғары ретті полюстерді де тармақталу нүктелері деп қарастыруға болады. Кері жаһандық аналитикалық функция тұрғысынан алғанда, тармақталу нүктелері – айналысында тривиалды емес монодромия бар нүктелер. Мысалы, функциясында тармақталу нүктесі бар. Кері функциясы – квадрат түбір, оның тармақталу нүктесі бар. Шындығында, жабық контурдың бойымен жүргенде, адамнан басталады және бірақ контурдың бойымен жүргенде, адамға жетеді. Осылайша, осы контурдың бойында монодромия бар, ол бастапқы нүктені қоршайды.
Typically, one is not interested in itself, but in its inverse function. However, the inverse of a holomorphic function in the neighborhood of a ramification point does not properly exist, and so one is forced to define it in a multiple valued sense as a global analytic function. It is common to abuse language and refer to a branch point of as a branch point of the global analytic function More general definitions of branch points are possible for other kinds of multiple valued global analytic functions, such as those that are defined implicitly. A unifying framework for dealing with such examples is supplied in the language of Riemann surfaces below. In particular, in this more general picture, poles of order greater than 1 can also be considered ramification points. In terms of the inverse global analytic function , branch points are those points around which there is nontrivial monodromy. For example, the function has a ramification point at The inverse function is the square root , which has a branch point at Indeed, going around the closed loop , one starts at and But after going around the loop to , one has Thus there is monodromy around this loop enclosing the origin.
Мысалдар
0 – квадрат түбір функциясының тармақ нүктесі. w = z^(1/2) деп есептейік, z нүктесі 4-тен басталып, 0 нүктесінде ортасы орналасқан, күрделі жазықтықтағы 4 радиусы бар шеңбер бойымен қозғалады. Тәуелді айнымалы w, z-ға тәуелді бола отырып, үздіксіз өзгеріп отырады. z толық айналым жасағанда, 4-тен қайта 4-ке келгенде, w жарты айналым жасап, 4-тің оң квадрат түбірінен, яғни 2-ден, 4-тің теріс квадрат түбіріне, яғни -2-ге дейін өтеді. 0 – сондай-ақ, натурал логарифмнің тармақ нүктесі. e^0 және e^(2i) бірдей болғандықтан, 0 және 2i екеуі де ln(1) функциясының көп мәнділігіне жатады. z, радиусы 1 болатын және 0 нүктесінде ортасы орналасқан шеңбер бойымен қозғалғанда, w = ln(z) 0-ден 2i-ге дейін өтеді. Тригонометрияда, tan(π/4) және tan(5π/4) екеуі де 1-ге тең болғандықтан, π/4 және 5π/4 сандары арктангенс(1) функциясының көп мәнділігіне жатады. i және −i – арктангенс функциясының тармақ нүктелері, arctan(z) = (1/2i)log[(i − z)/(i + z)]. Бұл, (d/dz)arctan(z) = 1/(1 + z^2) туындысының осы екі нүктеде жай полюстерге ие екенін байқау арқылы көрінеді, себебі бөлшектің төменгі бөлігі сол нүктелерде нөлге тең. Егер ƒ функциясының туындысы ƒ' нүкте a-да жай полюске ие болса, онда ƒ функциясы a нүктесінде логарифмдік тармақ нүктесіне ие. Керісіне, бұл дұрыс емес, себебі ƒ(z) = z^α функциясы, иррационал α үшін, логарифмдік тармақ нүктесіне ие, ал оның туындысы полюс болмай-ақ, ерекшелікке ие.
Жапырақтарды кесу
Шамамен айтқанда, тармақ нүктелері – көп мәнді функцияның әр түрлі парақтарының қосылатын нүктелері. Функцияның тармақтары – функцияның әр түрлі парақтары. Мысалы, w = z<sup>1/2</sup> функциясы екі тармаққа ие: бірі квадрат түбір плюс белгісімен, екіншісі минус белгісімен келеді. Кесілген тармақ – күрделі жазықтықтағы қисық, осы қисықтан басқа жазықтықта көп мәнді функцияның бір аналитикалық тармағын анықтау мүмкін болады. Кесілген тармақтар көбінесе, бірақ әрқашан емес, тармақ нүктелерінің жұптары арасында жасалады. Кесілген тармақтар көп мәнді функцияның орнына, бір мәнді функциялар жиынтығымен жұмыс істеуге мүмкіндік береді, олар кесілген тармақ бойымен "біріктіріледі". Мысалы, функцияны бір мәнді ету үшін, функцияның екі тармақ нүктесін қосып, нақты осьтегі [0, 1] аралығында кесілген тармақ жасалады. Осы идеяны функцияға да қолдануға болады; бірақ бұл жағдайда шексіз нүкте 0-ден қосылатын тиісті "екінші" тармақ нүктесі екенін түсіну керек, мысалы, бүкіл теріс нақты ось бойымен. Кесілген тармақ құрылғысы кездейсоқ сияқты көрінуі мүмкін (және шынында сондай); бірақ ол өте пайдалы, мысалы, арнайы функциялар теориясында. Тармақ құбылысының инвариантты түсіндірмесі Риман беттерінің теориясында (оның тарихи бастауы осы теория) және жалпы алгебралық функциялар мен дифференциалдық теңдеулердің тармақтануы және монодромия теориясында дамытылған.
single valued, one makes a branch cut along the interval [0, 1] on the real axis, connecting the two branch points of the function. The same idea can be applied to the function ; but in that case one has to perceive that the point at infinity is the appropriate 'other' branch point to connect to from 0, for example along the whole negative real axis. The branch cut device may appear arbitrary (and it is); but it is very useful, for example in the theory of special functions. An invariant explanation of the branch phenomenon is developed in Riemann surface theory (of which it is historically the origin), and more generally in the ramification and monodromy theory of algebraic functions and differential equations.
Күрделі логарифм
Бұтақ кесудің классикалық мысалы — күрделі логарифм. Егер күрделі сан полярлық формада z = reiθ түрінде берілсе, онда z логарифмі былай болады.
Дегенмен, θ бұрышын анықтауда белгілі бір мәңгілік болушылық бар: θ-ға кез келген толық санның 2π-ға еселенгенін қосу басқа да мүмкін бұрыш береді. Логарифмнің тармағы — бұл үздіксіз функция L(z), ол комплекс жазықтықтағы байланысты ашық жиынның кез келген z үшін z логарифмін береді. Атап айтқанда, логарифмнің тармағы кез келген нүктеден шексіздікке дейінгі сәуленің толықтыруында бар: бұтақ кесімі. Бұтақ кесудің әдеттегі таңдауы — теріс нақты ось, бірақ бұл таңдау көбінесе ыңғайлылыққа байланысты. Логарифм бұтақ кесімін кесіп өткенде 2πi секіріс үзілісін көрсетеді. Логарифмді үздіксіз ету үшін бұтақ кесімі бойымен комплекс жазықтықтың саналатын көптеген көшірмелерін, жапырақтар деп аталатындарын, біріктіруге болады. Әрбір жапырақта логарифмнің мәні оның басқы мәнінен 2πi-нің еселігімен өзгеше болады. Бұл жапырақтар логарифмді үздіксіз ету үшін бірегей тәсілмен бұтақ кесімі бойымен біріктіріледі. Айналма айнымалысы бастапқы нүктеге айналған сайын логарифм басқа тармаққа көшеді.
Полюстердің континуумы
Күрделі талдаудың көп кездесетін ерекшеліктерінің бірі – бұтақ кесуді күрделі жазықтықтағы бір сызық бойымен орналасқан, шексіз кішкентай қалдықтары бар, шексіз көп полюстердің қосындысы ретінде қарастыруға болады. Мысалы,
z = a нүктесінде жай полюсі бар функция. Полюс орналасқан жер бойынша интегралдау:
u(z) функциясын -1-ден 1-ге дейін кесумен анықтайды. Интеграл сызығы интегралдың мәнін өзгертпесе, бұтақ кесуді жылжытуға болады, яғни сызық z нүктесінен өтпеген жағдайда оны ауыстыруға болады.
Алгебралық геометрия
Алгебралық геометрия контекстінде, тармақ нүктелері түсінігін кез келген алгебралық қисықтар арасындағы бейнелеулерге кеңейтуге болады. ƒ:X → Y болсын, бұл алгебралық қисықтардың морфизмі. Y-дегі рационалды функцияларды X-тегі рационалды функцияларға кері тарту арқылы, K(X) – K(Y) өрісінің кеңейтілуі болып табылады. ƒ дәрежесі осы өріс кеңейтілуінің дәрежесі [K(X):K(Y)] деп анықталады, және егер дәреже шекті болса, ƒ шекті деп айтылады. ƒ шекті деп есептейік. P ∈ X нүктесі үшін eP тармақталу индексі келесідей анықталады. Q = ƒ(P) болсын және t, P нүктесіндегі жергілікті біркелкі параметр болсын; яғни, t – Q маңындағы t(Q) = 0 шартымен анықталған, дифференциалы нөлге тең емес тұрақты функция. ƒ арқылы t-ні кері тарту X-те тұрақты функцияны анықтайды. Онда
мұндағы vP – P нүктесіндегі тұрақты функциялардың жергілікті сақинасындағы бағалау. Яғни, eP – t функциясы P нүктесінде қанша рет жоғалады. Егер eP > 1 болса, онда ƒ, P нүктесінде тармақталады. Бұл жағдайда Q тармақ нүктесі деп аталады.