Введение
Точка интереса для сложных многозначных функций
В математической области комплексного анализа точка ветвления многозначной функции (обычно называемая "многозначной функцией" в контексте комплексного анализа) — это точка, такая что, если функция имеет n значений в этой точке, все её окрестности содержат точку, которая имеет более n значений. Многозначные функции строго изучаются с использованием поверхностей Римана, и формальное определение точек ветвления использует эту концепцию. Точки ветвления делятся на три основные категории: алгебраические точки ветвления, трансцендентные точки ветвления и логарифмические точки ветвления. Алгебраические точки ветвления чаще всего возникают из функций, в которых существует неоднозначность при извлечении корня, например, при решении уравнения w² = z для w как функции от z. Здесь точкой ветвления является начало координат, поскольку аналитическое продолжение любого решения вокруг замкнутого контура, содержащего начало координат, приводит к другой функции: существует нетривиальная монодромия. Несмотря на алгебраическую точку ветвления, функция w хорошо определена как многозначная функция и, в некотором смысле, непрерывна в начале координат. Это в отличие от трансцендентных и логарифмических точек ветвления, то есть точек, в которых многозначная функция имеет нетривиальную монодромию и существенную сингулярность. В геометрической теории функций, неквалифицированное использование термина "точка ветвления" обычно означает более ограничивающий вид: алгебраические точки ветвления. В других областях комплексного анализа неопределённый термин может также относиться к более общим точкам ветвления трансцендентного типа.
Алгебраические точки ветви
Пусть – связное открытое множество в комплексной плоскости, а – голоморфная функция. Если не является константой, то множество критических точек , то есть нулей производной , не имеет предельной точки в . Таким образом, каждая критическая точка лежит в центре диска, не содержащего других критических точек в его замыкании. Пусть – граница , взятая с положительной ориентацией. Индекс обхода вокруг точки является положительным целым числом, называемым индексом ветвления. Если индекс ветвления больше 1, то называется точкой ветвления , а соответствующее критическое значение – точкой (алгебраической) ветви. Эквивалентно, является точкой ветвления, если существует голоморфная функция , определенная в окрестности , такая что для целого числа. Обычно интересует не сама функция , а ее обратная функция. Однако обратная голоморфная функция в окрестности точки ветвления не существует в обычном смысле, и поэтому ее приходится определять в многозначном смысле как глобальную аналитическую функцию. Часто злоупотребляют терминологией и называют точку ветви точкой ветви глобальной аналитической функции . Более общие определения точек ветви возможны для других видов многозначных глобальных аналитических функций, например, для функций, заданных неявно. Унифицированная структура для работы с такими примерами представлена ниже на языке римановых поверхностей. В частности, в этой более общей картине полюса порядка, большего 1, также могут рассматриваться как точки ветвления. В терминах обратной глобальной аналитической функции точки ветви – это те точки, вокруг которых существует нетривиальная монодромия. Например, функция имеет точку ветвления в . Обратная функция – это квадратный корень , который имеет точку ветви в . Действительно, обходя замкнутый контур , начинаем с и . Но после обхода контура до , получаем . Таким образом, вокруг этого контура, охватывающего начало координат, существует монодромия.
Typically, one is not interested in itself, but in its inverse function. However, the inverse of a holomorphic function in the neighborhood of a ramification point does not properly exist, and so one is forced to define it in a multiple valued sense as a global analytic function. It is common to abuse language and refer to a branch point of as a branch point of the global analytic function More general definitions of branch points are possible for other kinds of multiple valued global analytic functions, such as those that are defined implicitly. A unifying framework for dealing with such examples is supplied in the language of Riemann surfaces below. In particular, in this more general picture, poles of order greater than 1 can also be considered ramification points. In terms of the inverse global analytic function , branch points are those points around which there is nontrivial monodromy. For example, the function has a ramification point at The inverse function is the square root , which has a branch point at Indeed, going around the closed loop , one starts at and But after going around the loop to , one has Thus there is monodromy around this loop enclosing the origin.
Примеры
0 - это точка ветвления функции квадратного корня. Предположим, что w = z<sup>1/2</sup>, а z начинается с 4 и движется по окружности радиусом 4 в комплексной плоскости с центром в 0. Зависимая переменная w изменяется, непрерывно завися от z. Когда z совершает один полный круг, возвращаясь из 4 в 4, w совершает один полукруг, переходя от положительного квадратного корня из 4, то есть от 2, к отрицательному квадратному корню из 4, то есть к -2. 0 также является точкой ветвления натурального логарифма. Поскольку e<sup>0</sup> равно e<sup>2i</sup>, и 0, и 2i являются одними из множественных значений ln(1). Когда z движется по окружности радиусом 1 с центром в 0, w = ln(z) переходит от 0 к 2i. В тригонометрии, поскольку tan(π/4) и tan(5π/4) равны 1, два числа π/4 и 5π/4 являются одними из множественных значений arctan(1). Мнимые единицы i и −i являются точками ветвления арктангенсной функции arctan(z) = (1/2i)log[(i − z)/(i + z)]. Это можно увидеть, заметив, что производная (d/dz) arctan(z) = 1/(1 + z<sup>2</sup>) имеет простые полюса в этих двух точках, поскольку знаменатель равен нулю в этих точках. Если производная ƒ' функции ƒ имеет простой полюс в точке a, то ƒ имеет логарифмическую точку ветвления в a. Обратное неверно, поскольку функция ƒ(z) = z<sup>α</sup> для иррационального α имеет логарифмическую точку ветвления, а ее производная является особенностью, не являющейся полюсом.
Обрезка ветвей
Грубо говоря, точки ветвления — это точки, в которых сходятся различные листы многозначной функции. Ветви функции — это отдельные листы функции. Например, функция w = z<sup>1/2</sup> имеет две ветви: одна, где квадратный корень берется со знаком плюс, а другая — со знаком минус. Разрез ветви — это кривая на комплексной плоскости, позволяющая определить однозначную аналитическую ветвь многозначной функции на плоскости, исключая эту кривую. Разрезы ветвей обычно, но не всегда, проводятся между парами точек ветвления. Разрезы ветвей позволяют работать с набором однозначных функций, "склеенных" вдоль разреза ветви, вместо многозначной функции. Например, чтобы сделать функцию однозначной, проводят разрез ветви вдоль интервала [0, 1] на вещественной оси, соединяя две точки ветвления функции. Та же идея применима к функции ; но в этом случае следует учитывать, что точка на бесконечности является соответствующей "другой" точкой ветвления, к которой можно присоединиться от 0, например, вдоль всей отрицательной вещественной оси. Метод разреза ветвей может показаться произвольным (и он таковым является), но он очень полезен, например, в теории специальных функций. Инвариантное объяснение явления ветвления разрабатывается в теории поверхностей Римана (которая исторически является его источником) и, в более общем виде, в теории ветвлений и монодромии алгебраических функций и дифференциальных уравнений.
single valued, one makes a branch cut along the interval [0, 1] on the real axis, connecting the two branch points of the function. The same idea can be applied to the function ; but in that case one has to perceive that the point at infinity is the appropriate 'other' branch point to connect to from 0, for example along the whole negative real axis. The branch cut device may appear arbitrary (and it is); but it is very useful, for example in the theory of special functions. An invariant explanation of the branch phenomenon is developed in Riemann surface theory (of which it is historically the origin), and more generally in the ramification and monodromy theory of algebraic functions and differential equations.
Комплексный логарифм
Типичным примером разреза ветви является комплексный логарифм. Если комплексное число представлено в полярной форме z = reiθ, то логарифм z будет… Однако существует очевидная неоднозначность в определении угла θ: добавление к θ любого целого кратного 2π дает другой возможный угол. Ветвь логарифма — это непрерывная функция L(z), дающая логарифм z для всех z в связном открытом множестве на комплексной плоскости. В частности, ветвь логарифма существует в дополнении любого луча, исходящего из начала координат в бесконечность: это и есть разрез ветви. Распространенным выбором разреза ветви является отрицательная вещественная ось, хотя выбор во многом определяется удобством. Логарифм имеет скачок разрыва величиной 2πi при пересечении разреза ветви. Логарифм можно сделать непрерывным, склеив счетное число копий, называемых листами, комплексной плоскости вдоль разреза ветви. На каждом листе значение логарифма отличается от его главного значения на кратное 2πi. Эти листы склеиваются друг с другом вдоль разреза ветви единственным образом, чтобы обеспечить непрерывность логарифма. Каждый раз, когда переменная совершает оборот вокруг начала координат, логарифм переходит на другую ветвь.
However, there is an obvious ambiguity in defining the angle θ: adding to θ any integer multiple of 2 will yield another possible angle. A branch of the logarithm is a continuous function L(z) giving a logarithm of z for all z in a connected open set in the complex plane. In particular, a branch of the logarithm exists in the complement of any ray from the origin to infinity: a branch cut. A common choice of branch cut is the negative real axis, although the choice is largely a matter of convenience. The logarithm has a jump discontinuity of 2i when crossing the branch cut. The logarithm can be made continuous by gluing together countably many copies, called sheets, of the complex plane along the branch cut. On each sheet, the value of the log differs from its principal value by a multiple of 2i. These surfaces are glued to each other along the branch cut in the unique way to make the logarithm continuous. Each time the variable goes around the origin, the logarithm moves to a different branch.
Континуум полюсов
Одной из причин, по которой разрывы ветвей являются распространенным элементом комплексного анализа, является то, что разрыв ветвей можно представить как сумму бесконечного числа полюсов, расположенных вдоль линии на комплексной плоскости с бесконечно малыми вычетами. Например,
является функцией с простым полюсом в точке z = a. Интегрирование по положению полюса:
определяет функцию u(z) с разрывом от −1 до 1. Разрыв ветвей можно перемещать, поскольку линию интегрирования можно сдвигать, не изменяя значения интеграла, пока эта линия не пересекает точку z.
Алгебраическая геометрия
В контексте алгебраической геометрии понятие точек ветвления может быть обобщено на отображения между произвольными алгебраическими кривыми. Пусть ƒ:X → Y – морфизм алгебраических кривых. Переходя к рациональным функциям на Y, соответствующих рациональным функциям на X, получаем, что K(X) является расширением поля K(Y). Степень ƒ определяется как степень этого расширения поля [K(X):K(Y)], и ƒ называется конечным, если эта степень конечна. Предположим, что ƒ конечно. Для точки P ∈ X индекс ветвления eP определяется следующим образом. Пусть Q = ƒ(P) и пусть t – локальный униформизирующий параметр в точке P; то есть, t – регулярная функция, определенная в окрестности точки Q такая, что t(Q) = 0 и ее дифференциал отличен от нуля. Образ t при отображении ƒ определяет регулярную функцию на X. Тогда
где vP – оценка в локальном кольце регулярных функций в точке P. То есть, eP – порядок, с которым t обращается в нуль в точке P. Если eP > 1, то говорят, что ƒ ветвится в точке P. В этом случае Q называется точкой ветвления.