Кіріспе

Абстрактты алгебраның сақиналық теориясы саласында, сол жақ примитивті сақина – адал қарапайым сол жақ модуліне ие сақина. Жақсы белгілі мысалдарға векторлық кеңістіктердің эндоморфизм сақиналары және нөлдік сипаттамасы бар өрістердегі Вейль алгебралары кіреді.

Анықтама

R сақинасы, егер оның адал қарапайым сол R модулі болса, сол жақ примитивті сақина деп аталады. Оң жақ примитивті сақина оң жақ R модульдері арқылы ұқсас анықталады. Бір жағынан примитивті, ал екінші жағынан емес сақиналар бар. Бірінші мысалды Джордж М. Бергман жасаған. Жатегаонкардың айырмашылықты көрсететін тағы бір мысалы келтірілген. Сол жақ примитивті сақиналардың ішкі сипаттамасы былай: сақина сол жақ примитивті болады, егер және тек қана нөлдік емес екі жақты идеалдарды қамтымайтын максималды сол жақ идеал болса. Оң жақ примитивті сақиналар үшін де ұқсас анықтама қолданылады. Якобсон тығыздық теоремасымен сол жақ примитивті сақиналардың құрылымы толық анықталады: сақина сол жақ примитивті болады, егер және тек қана егер ол бөліну сақинасы арқылы сол жақ векторлық кеңістіктің эндоморфизмдер сақинасының тығыз ішкі сақинасына изоморфты болса. Басқаша айтқанда, сақина сол жақ примитивті болады, егер және тек қана егер ол адал сол модулі шекті ұзындығы бар алғашқы сақина болса (, 11.19-мысал, 191-бет).

Қасиеттері

Бір жақты примитивті сақиналар жартылай примитивті сақиналар және негізгі сақиналар болып табылады. Екі немесе одан да көп нөлдік емес сақиналардың көбейтіндісі негізгі емес болғандықтан, примитивті сақиналардың көбейтіндісі ешқашан примитивті болмайды. Сол жақтың Артиниян сақинасы үшін, "сол жақты примитивті", "оң жақты примитивті", "негізгі" және "жасыраусыз" шарттарының барлығы эквивалентті екені белгілі, және осы жағдайда ол бөлу сақинасы үстіндегі шаршы матрицалар сақинасына изоморфты жартылай жасыраусыз сақина болып табылады. Көбірек айтқанда, ең кішкентай бір жақты идеалы бар кез келген сақинада "сол жақты примитивті" = "оң жақты примитивті" = "негізгі". Коммутативті сақина сол жақты примитивті болады, егер және тек қана ол өріс болса. Сол жақты примитивті болу – Морита инварианты қасиет.

Мысалдар

Бірлікке ие кез келген қарапайым сақина R сол және оң жақты примитив болып табылады. (Дегенмен, бірлікке ие емес қарапайым сақина примитив болмауы мүмкін.) Бұл R-дың максималды сол жақ идеалы M бар екендігінен, және R/M коэффициенттік модулі R-дың қарапайым сол жақ модулі екендігінен, сондай-ақ оның аннигиляторы R-дағы дұрыс екі жақты идеал екендігінен туындайды. R қарапайым сақина болғандықтан, бұл аннигилятор {0} болады, демек R/M адал сол R модулі болып табылады. Нөлдік сипаттамасы бар өрістердегі Вейль алгебралары примитивті, ал олар домендер болғандықтан, олар ең кішкентай бір жақты идеалдары жоқ мысалдар болып табылады.

Толық сызықтық сақиналар

Бастапқы сақиналардың ерекше жағдайы – толық сызықтық сақиналар. Сол жақ толық сызықтық сақина – бөліну сақинасы арқылы шексіз өлшемді сол жақ векторлық кеңістіктің барлық сызықтық түрлендірулерінің сақинасы. (Оң жақ толық сызықтық сақина оң жақ векторлық кеңістікті пайдалану арқылы ерекшеленеді.) Белгілермен, мұнда V – бөліну сақинасы D үстіндегі векторлық кеңістік. R сол жақ толық сызықтық сақина болып табылады, егер және ғана егер R фон Нейман тұрақты, сол жақтан өзіне инъективті және soc(RR) ≠ {0} сокліне ие болса. Сызықтық алгебра аргументтері арқылы, I – V/D өлшемділігіне ие индекс жиыны болатын қатарлы шекті матрицалар сақинасына изоморфты екенін көрсетуге болады. Сол сияқты, оң жақ толық сызықтық сақиналар D үстіндегі бағанды шекті матрицалар ретінде жүзеге асырылуы мүмкін.

Бұл арқылы біз қарапайым емес сол жақ примитивті сақиналардың бар екенін көре аламыз. Джейкобсон тығыздық сипаттамасына сәйкес, сол жақ толық сызықтық сақина R әрқашан сол жақ примитивті болады. Егер dim<sub>D</sub>V шекті болса, R – D үстіндегі квадраттық матрицалар сақинасы, бірақ егер dim<sub>D</sub>V шексіз болса, шекті рангілі сызықтық түрлендірулер жиыны R-дің екі жақты идеалы болып табылады, сондықтан R қарапайым емес.