Введение

В области абстрактной алгебры, известной как теория колец, левое примитивное кольцо — это кольцо, обладающее верным простым левым модулем. Хорошо известные примеры включают кольца эндоморфизмов векторных пространств и алгебры Вейля над полями характеристики ноль.

Определение

О кольце R говорят, что оно является левым примитивным кольцом, если существует верный простой левый R-модуль. Правое примитивное кольцо определяется аналогично, с использованием правых R-модулей. Существуют кольца, которые примитивны с одной стороны, но не с другой. Первый пример был построен Джорджем М. Бергманом в 1999 году. Другой пример, найденный Джатегаонкаром, демонстрирующий это различие, можно найти в . Кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда существует максимальный левый идеал, не содержащий ненулевых двусторонних идеалов. Аналогичное определение справедливо и для правых примитивных колец. Структура левых примитивных колец полностью определяется теоремой о плотности Джейкобсона: кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда оно изоморфно плотному подкольцу кольца эндоморфизмов левого векторного пространства над полем. Другое эквивалентное определение гласит, что кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда это простое кольцо с верным левым модулем конечной длины (, упр. 11.19, с. 191).

Свойства

Односторонние примитивные кольца являются одновременно полупримитивными и простыми кольцами. Поскольку произведение кольца двух или более ненулевых колец не является простым, очевидно, что произведение примитивных колец никогда не является примитивным. Для левого артинова кольца известно, что условия "левый примитивный", "правый примитивный", "простой" и "простой" эквивалентны, и в этом случае оно является полупростым кольцом, изоморфным кольцу квадратных матриц над полем. В более общем случае, в любом кольце с минимальным односторонним идеалом, "левый примитивный" = "правый примитивный" = "первичный". Коммутативное кольцо является левым примитивным тогда и только тогда, когда оно является полем. Являться левым примитивным – это свойство Мориты.

Примеры

Каждое простое кольцо R с единицей является одновременно левым и правым примитивным. (Однако, простое не унитальное кольцо может не быть примитивным.) Это следует из того, что в R существует максимальный левый идеал M, и что фактор-модуль R/M является простым левым R-модулем, а его аннигилятор – собственным двусторонним идеалом в R. Поскольку R – простое кольцо, этот аннигилятор равен {0}, и, следовательно, R/M является верным левым R-модулем. Алгебры Вейля над полями характеристики ноль являются примитивными, и поскольку они являются областями целостности, они служат примерами без минимальных односторонних идеалов.

Полные линейные кольца

Особый случай примитивных колец – это полные линейные кольца. Левое полное линейное кольцо – это кольцо всех линейных преобразований бесконечномерного левого векторного пространства над полем (кольцом деления). (Правое полное линейное кольцо отличается тем, что используется правое векторное пространство.) В символах, где V – векторное пространство над полем (кольцом деления) D. Известно, что R является левым полным линейным кольцом тогда и только тогда, когда R является регулярным кольцом фон Неймана, левым самоинъективным с соколом soc(RR) ≠ {0}. С помощью аргументов линейной алгебры можно показать, что R изоморфно кольцу матриц, конечных по строкам, где I – индексное множество, мощность которого равна размерности V над D. Аналогично, правые полные линейные кольца могут быть представлены как матрицы, конечные по столбцам, над D.

Используя это, можно увидеть, что существуют не простые левые примитивные кольца. Согласно характеризации плотности Джейкобсона, левое полное линейное кольцо R всегда является левым примитивным. Когда dimDV конечно, R является кольцом квадратных матриц над D, но когда dimDV бесконечно, множество линейных преобразований конечного ранга является собственным двусторонним идеалом в R, и, следовательно, R не является простым.