Кіріспе
Математикада, әсіресе коммутативті емес сақиналар теориясында, қазіргі алгебрада және модульдер теориясында, Якобсон тығыздық теоремасы – R сақинасының қарапайым модульдеріне қатысты теорема.
Бұл теорема кез келген примитивті сақинаны векторлық кеңістіктің сызықтық түрлендірулер сақинасының "тығыз" ішкі сақинасы ретінде қарастыруға болатынын көрсету үшін қолданылады. Бұл теорема алғаш рет 1945 жылы Натан Джейкобсонның «Қарапайым сақиналардың құрылымдық теориясы, шектілік болжамдарысыз» атты белгілі мақаласында жарияланды. Мұны Артин-Веддерберн теоремасының қарапайым Артиниялық сақиналардың құрылымы туралы қорытындысының бір түрі ретінде қарастыруға болады.
Дәлел
Якобсон тығыздық теоремасында оң R модулі U бір мезгілде сол D модулі ретінде қарастырылады, мұнда , табиғи түрде: Бұл U-дегі сол модуль құрылымы екенін тексеруге болады. Бұрын айтылғандай, Шур леммасы U қарапайым болса, D-нің бөліну сақинасы екенін дәлелдейді, сондықтан U, D үстінен векторлық кеңістік болады. Дәлел сондай-ақ 185-бетте дәлелденген келесі теоремаға сүйенеді:
The proof also relies on the following theorem proven in p. 185:
Theorem. Let U be a simple right R module, , and X ⊂ U a finite set. Write for the annihilator of X in R. Let u be in U with Then u is in XD; the D span of X.
Теорема. U қарапайым оң R модуль болсын, , және X ⊂ U – шекті жиын. R-дегі X-тің жойғышын былай жазыңыз. Егер u ∈ U болса, онда u ∈ XD; X-тің D-көлемді кеңістігі.
The proof also relies on the following theorem proven in p. 185:
Theorem. Let U be a simple right R module, , and X ⊂ U a finite set. Write for the annihilator of X in R. Let u be in U with Then u is in XD; the D span of X.
Топологиялық сипаттама
R сақинасы, егер ол Якобсон тығыздық теоремасының қорытындысын қанағаттандырса, жай оң R модулі U-ға тығыз әсер етеді деп айтылады. R-ді "тығыз" деп сипаттаудың топологиялық себебі бар. Біріншіден, R-ді End(DU) суббұрышымен сәйкестендіруге болады, R-дің әрбір элементін оң жақтан көбейту арқылы туындайтын D-сызықтық түрлендіруімен. Егер U дискретті топологиямен, ал UU өнім топологиясымен берілген, және End(DU) UU-ның қосалқы кеңістігі ретінде қарастырылып, қосалқы кеңістік топологиясымен жабдықталған болса, онда R U-ға тығыз әсер етеді, егер және тек егер R осы топологияда End(DU) ішінде тығыз жиын болса.
Салдарлар
Якобсон тығыздық теоремасы сақиналардың құрылым теориясында маңызды салдарларға ие. Атап айтқанда, Артин-Уэддерберн теоремасының қарапайым оң Артиний сақиналарының құрылымы туралы қорытындысы қайтадан алынады. Якобсон тығыздық теоремасы сондай-ақ оң немесе сол примитивті сақиналарды, кейбір D векторлық кеңістігі U-дағы D сызықтық түрлендірулер сақинасының тығыз субсақиналары ретінде сипаттайды, мұнда D – бөліну сақинасы.
Басқа нәтижелермен байланысы
Бұл нәтиже Вон Нейманның бикоммутант теоремасымен байланысты, ол гильберт кеңістігіндегі операторлардың * алгебрасы А үшін, қос коммутант А′′ кез келген берілген шекті векторлар жиынында А-ға жуықтатылуы мүмкін. Басқаша айтқанда, қос коммутант – әлсіз оператор топологиясындағы А-ның жабылуы. Сондай-ақ, Вон Нейман алгебрасы аясындағы Капланский тығыздық теоремасын қараңыз.