Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, в частности в теории некоммутативных колец, современной алгебре и теории модулей, теорема о плотности Джейкобсона – это теорема, касающаяся простых модулей над кольцом R.
In mathematics, more specifically non commutative ring theory, modern algebra, and module theory, the Jacobson density theorem is a theorem concerning simple modules over a ring R.
Эту теорему можно использовать для доказательства того, что любое примитивное кольцо можно рассматривать как "плотное" подкольцо кольца линейных преобразований векторного пространства. Теорема впервые появилась в литературе в 1945 году в знаменитой статье Натана Джейкобсона «Теория структуры простых колец без предположений о конечности». Это можно рассматривать как своего рода обобщение заключения теоремы Артина — Веддерберна о структуре простых артинианских колец.
The theorem can be applied to show that any primitive ring can be viewed as a "dense" subring of the ring of linear transformations of a vector space. This theorem first appeared in the literature in 1945, in the famous paper "Structure Theory of Simple Rings Without Finiteness Assumptions" by Nathan Jacobson. This can be viewed as a kind of generalization of the Artin Wedderburn theorem's conclusion about the structure of simple Artinian rings.
Доказательство
В теореме о плотности Якобсона правый R-модуль U одновременно рассматривается как левый D-модуль, где , естественным образом. Можно проверить, что это действительно структура левого модуля на U. Как отмечалось ранее, лемма Шура доказывает, что D является полем, если U простое, и, следовательно, U является векторным пространством над D.
In the Jacobson density theorem, the right R module U is simultaneously viewed as a left D module where , in the natural way: It can be verified that this is indeed a left module structure on U. As noted before, Schur's lemma proves D is a division ring if U is simple, and so U is a vector space over D.
Доказательство также опирается на следующую теорему, доказанную на стр. 185:
The proof also relies on the following theorem proven in p. 185:
Теорема. Пусть U – простой правый R-модуль, , и X ⊂ U – конечное множество. Обозначим через аннигилятор множества X в R. Пусть u ∈ U и . Тогда u ∈ XD, то есть u принадлежит D-линейной оболочке X.
Theorem. Let U be a simple right R module, , and X ⊂ U a finite set. Write for the annihilator of X in R. Let u be in U with Then u is in XD; the D span of X.
Топологическая характеристика
Говорят, что кольцо R действует плотно на простом правом R-модуле U, если оно удовлетворяет заключению теоремы о плотности Джейкобсона. Существует топологическое обоснование для описания R как "плотного". Во-первых, R можно отождествить с подкольцом End(DU), отождествляя каждый элемент R с D-линейным преобразованием, которое он индуцирует правым умножением. Если U снабжено дискретной топологией, а UU — топологией произведения, и End(DU) рассматривается как подпространство UU с индуцированной подпространственной топологией, то R действует плотно на U тогда и только тогда, когда R является плотным множеством в End(DU) в этой топологии.
A ring R is said to act densely on a simple right R module U if it satisfies the conclusion of the Jacobson density theorem. There is a topological reason for describing R as "dense". Firstly, R can be identified with a subring of End(DU) by identifying each element of R with the D linear transformation it induces by right multiplication. If U is given the discrete topology, and if UU is given the product topology, and End(DU) is viewed as a subspace of UU and is given the subspace topology, then R acts densely on U if and only if R is dense set in End(DU) with this topology.
Последствия
Теорема плотности Джейкобсона имеет различные важные следствия в теории структуры колец. В частности, восстанавливается заключение теоремы Артина — Уэддерберна об структуре простых правых артинианских колец. Теорема плотности Джейкобсона также характеризует правые или левые примитивные кольца как плотные подкольца кольца линейных преобразований на некотором векторном пространстве U над полем D, где D — поле.
The Jacobson density theorem has various important consequences in the structure theory of rings. Notably, the Artin–Wedderburn theorem's conclusion about the structure of simple right Artinian rings is recovered. The Jacobson density theorem also characterizes right or left primitive rings as dense subrings of the ring of D linear transformations on some D vector space U, where D is a division ring.
Связь с другими результатами
Этот результат связан с теоремой бикоммутанта фон Неймана, которая утверждает, что для * -алгебры A операторов на гильбертовом пространстве H двойной коммутант A′′ может быть приближен к A на любом заданном конечном множестве векторов. Иными словами, двойной коммутант является замыканием A в слабой операторной топологии. См. также теорему плотности Капланского в контексте алгебр фон Неймана.
This result is related to the Von Neumann bicommutant theorem, which states that, for a * algebra A of operators on a Hilbert space H, the double commutant A′′ can be approximated by A on any given finite set of vectors. In other words, the double commutant is the closure of A in the weak operator topology. See also the Kaplansky density theorem in the von Neumann algebra setting.