Введение

В математике гомологические гипотезы являются предметом активных исследований в коммутативной алгебре с начала 1960-х годов. Они касаются ряда взаимосвязанных (иногда весьма неожиданных) гипотез, связывающих различные гомологические свойства коммутативного кольца с его внутренней кольцевой структурой, в частности, с размерностью Крулля и глубиной. Следующий список, предложенный Мелвином Хохстером, считается исчерпывающим для этой области. Далее, и обозначают нётеровы коммутативные кольца; будет локальным кольцом с максимальным идеалом , а и — конечно порожденными модулями. Теорема о нулевых делителях. Если имеет конечную проективную размерность и не является делителем нуля в , то не является делителем нуля в вопросе Басса. Если имеет конечное инъективное разрешение, то является кольцом Коэна–Маколея. Теорема об пересечении. Если имеет конечную длину, то размерность Крулля N (то есть размерность R по аннулятору N) не превосходит проективной размерности M. Новая теорема об пересечении. Пусть обозначает конечный комплекс свободных R-модулей, имеющий конечную длину, но не равный 0. Тогда (размерность Крулля). Улучшенная гипотеза о новом пересечении. Пусть обозначает конечный комплекс свободных R-модулей, имеющий конечную длину для и содержащий минимальный образующий, уничтожаемый некоторой степенью максимального идеала R. Тогда гипотеза о прямых слагаемых. Если является модульным конечно-порожденным расширением с регулярным R (здесь R не обязательно должно быть локальным, но задача сводится к локальному случаю), то R является прямым слагаемым S как R-модуль. Гипотеза доказана Ивом Андре с использованием теории перфектоидных пространств. Гипотеза о каноническом элементе. Пусть является системой параметров для R, пусть является свободным R-разрешением поля вычетов R с , и пусть обозначает комплекс Козуля R относительно R. Пролонгируйте тождественное отображение до отображения комплексов. Тогда, независимо от выбора системы параметров или пролонгирования, последнее отображение из не равно 0. Гипотеза о существовании сбалансированных больших модулей Коэна–Маколея. Существует (не обязательно конечно порожденный) R-модуль W, такой, что mRW ≠ W, и каждая система параметров для R является регулярной последовательностью на W. Гипотеза о Коэновском характере прямых слагаемых. Если R является прямым слагаемым регулярного кольца S как R-модуль, то R является кольцом Коэна–Маколея (R не обязательно должно быть локальным, но результат сводится к случаю, когда R локально). Гипотеза о исчезновении для отображений Tor. Пусть являются гомоморфизмами, где R не обязательно локально (однако можно свести к этому случаю), при этом A и S регулярны, а R конечно порожден как A-модуль. Пусть W — любой A-модуль. Тогда отображение равно нулю для всех гипотеза о сильных прямых слагаемых. Пусть является отображением полных локальных областей, и пусть Q — простое идеальное высоты один в S, лежащее над , где R и регулярны. Тогда является прямым слагаемым Q, рассматриваемым как R-модуль. Гипотеза о существовании слабо функториальных больших алгебр Коэна–Маколея. Пусть является локальным гомоморфизмом полных локальных областей. Тогда существует R-алгебра BR, являющаяся сбалансированной большой алгеброй Коэна–Маколея для R, S-алгебра, являющаяся сбалансированной большой алгеброй Коэна–Маколея для S, и гомоморфизм BR → BS, такой, что естественный квадрат, заданный этими отображениями, коммутирует. Гипотеза Серра о мультипликативности. (см. гипотезы Серра о мультипликативности). Предположим, что R регулярно и имеет размерность d, а имеет конечную длину. Тогда , определяемое как знакопеременная сумма длин модулей , равно 0, если , и положительно, если сумма равна d. (Примечание: Жан-Пьер Серр доказал, что сумма не может превышать d.) Если R полно, то существует конечно порожденный R-модуль , такой, что некоторая (эквивалентно, любая) система параметров для R является регулярной последовательностью на M.