Кіріспе
Пандиагональды немесе панамагикалық квадрат (сондай-ақ, диаболикалық квадрат, диаболикалық квадрат немесе диаболикалық магикалық квадрат) – бұзылған диагональдар, яғни квадраттың шеттерінде айналып оралатын диагональдар да сиқырлы тұрақтыға тең болатын қосымша қасиеті бар сиқырлы квадрат. Пандиагональды магикалық квадрат айналу немесе көлденең керілу кезінде ғана емес, сонымен қатар қатар немесе бағана квадраттың бір жағынан қарсы жағына жылжытылғанда да пандиагональды сиқырлы болып қалады. Сондықтан, пандиагональды магикалық квадратты көп бағытты деп қарастыруға болады.
3х3 пандьягональді сиқырлы квадраттар
3-ші реттік тривиалды емес пандиагоналдық сиқырлы квадраттардың жоқ екені көрсетілуі мүмкін. Егер квадратты магикалық константасы s болатын пандиагоналды сиқырлы квадрат деп қарастырсақ, a {11} + a {22} + a {33}, a {12} + a {22} + a {32} және a {13} + a {22} + a {31} қосындылары 3s-ке тең болады. a {11} + a {12} + a {13} және a {31} + a {32} + a {33} айырмасын шығарсақ, 1=3a {22} = s теңдігіне жетеміз. Дегенмен, егер үшінші бағанды алға жылдырып, дәл осы аргументті қолдансақ, 1=3a {22} = s теңдігін қайтадан аламыз. Шындығында, 3 × 3 сиқырлы квадраттардың симметриясын пайдаланып, барлық жасушалардың \tfrac{1}{3}s-ке тең болуы керек. Сондықтан, барлық 3 × 3 пандиагоналдық сиқырлы квадраттар тривиалды болады. Алайда, егер сиқырлы квадрат түсінігін сандардың орнына геометриялық пішіндерді қамту үшін кеңейтсек – Ли Салоус ашқан геометриялық сиқырлы квадраттар – 3 × 3 пандиагоналдық сиқырлы квадраттың бар екендігін көреміз.
is pandiagonally magic with magic constant s. Adding sums a {11} + a {22} + a {33}, a {12} + a {22} + a {32}, and a {13} + a {22} + a {31} results in 3s. Subtracting a {11} + a {12} + a {13} and a {31} + a {32} + a {33}, we get 1=3a {22} = s.
However, if we move the third column in front and perform the same argument, we obtain 1=3a {22} = s. In fact, using the symmetries of 3 × 3 magic squares, all cells must equal \tfrac{1}{3}s. Therefore, all 3 × 3 pandiagonal magic squares must be trivial. However, if the magic square concept is generalized to include geometric shapes instead of numbers – the geometric magic squares discovered by Lee Sallows – a 3 × 3 pandiagonal magic square does exist.
(6n±1) × (((6n±1) пандьягоналдық сиқырлы квадраттар
Пандиагоналдық сиқырлы квадратты келесі алгоритм арқылы құруға болады.
4n×4n пандьягоналдық сиқырлы квадраттар
Пандиагоналды сиқырлы квадратты келесі алгоритм арқылы құруға болады. Егер осы алгоритмді қолданып пандьягоналды сиқырлы квадрат құрсақ, онда квадраттың әрбір шаршысының қосындысы бірдей болады. Сондықтан, жасушалардың көптеген симметриялық үлгілерінің қосындысы кез келген қатар мен бағанның қосындысына тең болады. Атап айтқанда, кез келген тіктөртбұрыштың қосындысы да кез келген қатар мен бағанның қосындысына тең болады. Бұл квадрат – ең толыққанды сиқырлы квадрат.
(6n+3) × ((6n+3)) пандьягоналдық сиқырлы квадраттар
Пандиагоналдық сиқырлы квадратты келесі алгоритм арқылы құруға болады.