Введение
Пандиагональный магический квадрат или панмагический квадрат (также дьявольский квадрат или дьявольский магический квадрат) — это магический квадрат, обладающий дополнительным свойством: сломанные диагонали, то есть диагонали, замыкающиеся по краям квадрата, также в сумме дают магическую константу. Пандиагональный магический квадрат остаётся пандиагонально магическим не только при поворотах или отражениях, но и при переносе строки или столбца с одной стороны квадрата на противоположную. Таким образом, пандиагональный магический квадрат можно рассматривать как имеющий несколько ориентаций.
3х3 падиагональные магические квадраты
Можно показать, что нетривиальных пандиагональных магических квадратов 3-го порядка не существует. Предположим, что квадрат является пандиагонально магическим с магической константой s. Сложение сумм a₁₁ + a₂₂ + a₃₃, a₁₂ + a₂₂ + a₃₂ и a₁₃ + a₂₂ + a₃₁ дает 3s. Вычитая a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ и a₃₁ + a₃₂ + a₃₃, получаем 1 = 3a₂₂ = s. Однако, если переместить третий столбец в начало и повторить тот же аргумент, мы получим 1 = 3a₂₂ = s. Фактически, используя симметрии магических квадратов 3 × 3, все ячейки должны быть равны ⅓s. Следовательно, все пандиагональные магические квадраты 3 × 3 должны быть тривиальными. Однако, если понятие магического квадрата обобщить, включив геометрические фигуры вместо чисел – геометрические магические квадраты, открытые Ли Саллоуз – то пандиагональный магический квадрат 3 × 3 действительно существует.
is pandiagonally magic with magic constant s. Adding sums a {11} + a {22} + a {33}, a {12} + a {22} + a {32}, and a {13} + a {22} + a {31} results in 3s. Subtracting a {11} + a {12} + a {13} and a {31} + a {32} + a {33}, we get 1=3a {22} = s.
However, if we move the third column in front and perform the same argument, we obtain 1=3a {22} = s. In fact, using the symmetries of 3 × 3 magic squares, all cells must equal \tfrac{1}{3}s. Therefore, all 3 × 3 pandiagonal magic squares must be trivial. However, if the magic square concept is generalized to include geometric shapes instead of numbers – the geometric magic squares discovered by Lee Sallows – a 3 × 3 pandiagonal magic square does exist.
(6n±1) × (((6n±1) пандиагональные магические квадраты
Пандиагональный магический квадрат может быть построен следующим алгоритмом.
4n×4n падиагональные магические квадраты
Пандиагональный магический квадрат может быть построен следующим алгоритмом. Если мы построим пандьягональный магический квадрат с помощью этого алгоритма, то каждая ячейка в квадрате будет иметь одинаковую сумму. Следовательно, многие симметричные группы ячеек имеют ту же сумму, что и любая строка или любой столбец квадрата. В частности, каждый прямоугольник будет иметь ту же сумму, что и любая строка или любой столбец квадрата. Этот квадрат также является наиболее совершенным магическим квадратом.
(6n+3) × ((6n+3) пандьягональные магические квадраты
Пандиагональный магический квадрат может быть построен следующим алгоритмом.