Кіріспе
Ықтималдық үлестірімі
Ықтималдық теориясы мен статистикада геометриялық үлестірімі екі дискретті ықтималдық үлестірімінің бірі болып табылады:
Бір сәттілікке жету үшін қажетті Бернулли сынақтарының санының ықтималдық үлестірімі, {0, 1, 2, ...} жиынында қолдау көрсетіледі;
Бірінші сәттілікке дейін болатын сәтсіздіктер санының ықтималдық үлестірімі, {0, 1, 2, ...} жиынында қолдау көрсетіледі.
Бұлардың қайсысы геометриялық үлестірімі деп аталады, бұл конвенция және ыңғайлылық мәселесі. Бұл екі геометриялық үлестірімінің арасын шатастыруға болмайды. Көбінесе, алдыңғысына (яғни, {0, 1, 2, ...} жиынындағы үлестіріміне) "ауыстырылған геометриялық үлестірімі" деген атау беріледі; алайда, түсініксіздіктен сақтану үшін, қайсысы көзделіп отырғанын, қолдау жиынын нақты көрсете отырып, көрсету жөн. Геометриялық үлестірімі, бірінші сәттілікке жету үшін қажетті тәуелсіз сынақтардың санын, әрқайсысының сәттілік ықтималдығы p болатындығын көрсетеді. Егер әр сынақта сәттілік ықтималдығы p болса, онда k-шы сынақ бірінші сәттілік болатын ықтималдық:
The probability distribution of the number of failures before the first success, supported on the set
Which of these is called the geometric distribution is a matter of convention and convenience. These two different geometric distributions should not be confused with each other. Often, the name shifted geometric distribution is adopted for the former one (distribution of ); however, to avoid ambiguity, it is considered wise to indicate which is intended, by mentioning the support explicitly. The geometric distribution gives the probability that the first occurrence of success requires independent trials, each with success probability If the probability of success on each trial is , then the probability that the th trial is the first success is
p^(k-1) * (1-p) үшін k = 1, 2, 3, ...
Жоғарыдағы геометриялық үлестірімінің түрі, бірінші сәттілікке дейін жасалған сынақтар санын модельдеу үшін қолданылады. Керісінше, геометриялық үлестірімінің келесі түрі, бірінші сәттілікке дейін болатын сәтсіздіктер санын модельдеу үшін қолданылады:
(1-p)^(k-1) * p үшін k = 1, 2, 3, ...
Екі жағдайда да, ықтималдықтар тізбегі геометриялық прогрессия болып табылады. Мысалы, бір обыкновенный кісе (die) бірлік ("1") түсетінше қайта-қайта лақтырылады делік. Лақтырылған реттер санының ықтималдық үлестірімі шексіз {0, 1, 2, ...} жиынында қолдау көрсетіледі және p = 1/6 ықтималдығымен геометриялық үлестірімі болып табылады. Геометриялық үлестірімі Geo(p) арқылы белгіленеді, мұндағы p – сәттілік ықтималдығы.
The geometric distribution is denoted by Geo(p) where .
Анықтамалар
Сәттілік пен сәтсіздік деп белгіленген екі ғана мүмкін нәтижесі бар сынақтар тізбегін қарастырайық. Әр сынақ үшін сәттілік ықтималдығы бірдей деп есептелінеді. Мұндай сынақтар тізбегінде геометриялық таралым алғашқы сәттілікке дейін сәтсіздіктер санын модельдеуге пайдалы, себебі эксперимент сәттілікке қол жеткізгенге дейін белгісіз санымен жүруі мүмкін. Бұл, сынақтардың саны алдын ала белгіленген биномдық таралымнан өзгеше. Таралым бірінші сәттілікке дейін нөл сәтсіздік, бірінші сәттілікке дейін бір сәтсіздік, бірінші сәттілікке дейін екі сәтсіздік және т.б. болу ықтималдығын көрсетеді.
Қорытындылар: Геометриялық таралу қашан орынды модель болып табылады?
Геометриялық таралым, егер келесі шарттар орындалса, тиімді модель болып табылады. Модельденетін құбылыс – тәуелсіз тәжірибелер тізбегі. Әр тәжірибенің нәтижесі екі ғана болуы мүмкін, олар көбінесе сәттілік немесе сәтсіздік деп белгіленеді. Сәттілік ықтималдығы, p, әр тәжірибе үшін бірдей болады. Егер осы шарттар орындалса, онда геометриялық кездейсоқ шама Y – бірінші сәттілікке дейінгі сәтсіздіктер саны. Бірінші сәттілікке дейін болуы мүмкін сәтсіздіктер саны 0, 1, 2, 3 және т.б. Жоғарыдағы суреттерде бұл түсіндірме оң жақта көрсетілген. Балама түсіндірме: геометриялық кездейсоқ шама X – бірінші сәттілікті қоса алғандағы тәжірибелердің жалпы саны, ал сәтсіздіктер саны X – 1-ге тең. Жоғарыдағы суреттерде бұл түсіндірме сол жақта көрсетілген.
Күтілетін құнның мысалдары
E3) Науқас трансплантация үшін қолайлы, сәйкес келетін бүйрек донорын күтуде. Егер кездейсоқ таңдалған донордың сәйкес келу ықтималдығы p = 0,1 болса, сәйкес донор табылғанға дейін қанша донор тексерілуі керек? p = 0,1 болғанда, бірінші сәттілікке дейінгі сәтсіздіктердің күтілетін саны E(Y) = (1 − p)/p = (1 − 0,1)/0,1 = 9-ға тең. Ал X – бірінші сәттілікке дейінгі, оның өзіндік қоса алғандағы, сынақтар саны болса, күтілетін мәні E(X) = 1/p = 1/0,1 = 10-ға тең. Мысалы, жоғарыдағы 1-мысалда p = 0,6 болса, бірінші сәттілікке дейінгі сәтсіздіктердің күтілетін саны E(Y) = (1 − p)/p = (1 − 0,6)/0,6 = 0,67-ге тең.