Введение
Распределение вероятности
В теории вероятностей и статистике геометрическое распределение является одним из двух дискретных распределений вероятности:
Распределение вероятности количества испытаний Бернулли, необходимых для получения первого успеха, заданное на множестве ;
Распределение вероятности количества неудач до первого успеха, заданное на множестве .
Какое из этих распределений называется геометрическим, зависит от принятых соглашений и удобства. Эти два различных геометрических распределения не следует путать друг с другом. Часто для первого из них используется название «смещенное геометрическое распределение» (распределение ), однако, чтобы избежать двусмысленности, рекомендуется явно указывать, какое распределение имеется в виду, путем указания области его определения. Геометрическое распределение дает вероятность того, что для первого появления успеха потребуется независимых испытаний, каждое из которых имеет вероятность успеха . Если вероятность успеха в каждом испытании равна , то вероятность того, что -е испытание будет первым успехом, равна
The probability distribution of the number of failures before the first success, supported on the set
Which of these is called the geometric distribution is a matter of convention and convenience. These two different geometric distributions should not be confused with each other. Often, the name shifted geometric distribution is adopted for the former one (distribution of ); however, to avoid ambiguity, it is considered wise to indicate which is intended, by mentioning the support explicitly. The geometric distribution gives the probability that the first occurrence of success requires independent trials, each with success probability If the probability of success on each trial is , then the probability that the th trial is the first success is
для
Приведенная выше форма геометрического распределения используется для моделирования количества испытаний до и включая первый успех. В отличие от этого, следующая форма геометрического распределения используется для моделирования количества неудач до первого успеха:
для
В любом случае последовательность вероятностей является геометрической прогрессией. Например, предположим, что обычный кубик бросается многократно до тех пор, пока впервые не выпадет «1». Распределение вероятности количества бросков задано на бесконечном множестве и является геометрическим распределением с . Геометрическое распределение обозначается Geo(p), где .
The geometric distribution is denoted by Geo(p) where .
Определения
Рассмотрим последовательность испытаний, в каждом из которых есть только два возможных исхода (неудача и успех). Предполагается, что вероятность успеха одинакова для каждого испытания. В такой последовательности испытаний геометрическое распределение полезно для моделирования числа неудач до первого успеха, поскольку эксперимент может включать неопределенное количество испытаний до достижения успеха, в отличие от биномиального распределения, которое предполагает фиксированное число испытаний. Распределение показывает вероятность того, что до первого успеха будет ноль неудач, одна неудача, две неудачи и так далее.
Предположения: Когда геометрическое распределение является подходящей моделью?
Геометрическое распределение является подходящей моделью, если выполняются следующие предположения. Моделируемое явление представляет собой последовательность независимых испытаний. Для каждого испытания существует только два возможных исхода, обычно обозначаемых как успех или неудача. Вероятность успеха, p, одинакова для всех испытаний. Если эти условия выполняются, то геометрическая случайная величина Y представляет собой количество неудач до первого успеха. Возможным количеством неудач до первого успеха является 0, 1, 2, 3 и так далее. На графиках выше эта формулировка показана справа. Альтернативная формулировка заключается в том, что геометрическая случайная величина X представляет собой общее количество испытаний, включая первое успешное, а количество неудач равно X - 1. На графиках выше эта формулировка показана слева.
Примеры ожидаемой стоимости
E3) Пациент ожидает подходящего донора почки для трансплантации. Если вероятность того, что случайно выбранный донор является подходящим, равна p = 0,1, каково ожидаемое количество доноров, которых необходимо проверить, чтобы найти подходящего? При p = 0,1 среднее число неудачных попыток до первой успешной составляет E(Y) = (1 − p)/p = (1 − 0,1)/0,1 = 9. Для альтернативной формулировки, где X – число испытаний, включая первое успешное, ожидаемое значение E(X) = 1/p = 1/0,1 = 10. Например, как в примере 1 выше, при p = 0,6 среднее число неудачных попыток до первой успешной составляет E(Y) = (1 − p)/p = (1 − 0,6)/0,6 = 0,67.