Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Кіріспе
Калькуль проблемасының түрі
Type of calculus problem
Көпөлшемді калькульде бастапқы мән проблемасы (IVP) – домендегі белгілі бір нүктедегі белгісіз функцияның мәнін анықтайтын бастапқы шарты бар қарапайым дифференциалдық теңдеу. Физика және басқа ғылымдардағы жүйені модельдеу жиі бастапқы мән проблемасын шешуге келгенде. Осы контексте, дифференциалдық бастапқы мән – жүйенің бастапқы шарттар берілгенде уақыт өте қалай өзгеретінін анықтайтын теңдеу.
In multivariable calculus, an initial value problem (IVP) is an ordinary differential equation together with an initial condition which specifies the value of the unknown function at a given point in the domain. Modeling a system in physics or other sciences frequently amounts to solving an initial value problem. In that context, the differential initial value is an equation which specifies how the system evolves with time given the initial conditions of the problem.
Шешімдердің бар болуы және бірегейлігі
Пикард–Линделоф теоремасы, егер f функциясы t0 және y0 кіретін аймақта үздіксіз болса және y айнымалы бойынша Липшиц шартын қанағаттандырса, t0 кіретін кейбір аралықта бірегей шешімге кепілдік береді. Бұл теореманың дәлелі мәселені эквивалентті интегралдық теңдеу ретінде қайта формулировкалау арқылы жүзеге асырылады. Интегралды бір функцияны екінші функцияға бейнелейтін оператор ретінде қарастыруға болады, сондықтан шешім оператордың тұрақты нүктесі болып табылады. Банахтың тұрақты нүкте теоремасы бастапқы шарттар мәселесінің шешімі болатын бірегей тұрақты нүктенің бар екенін көрсету үшін қолданылады. Пикард–Линделоф теоремасының бұрынғы дәлелі интегралдық теңдеудің шешіміне және, демек, бастапқы шарттар мәселесінің шешіміне жуықтайтын функциялар тізбегін құрастырады. Мұндай құрастыру кейде «Пикард әдісі» немесе «кейкелес жуықтау әдісі» деп аталады. Бұл нұсқа, по сути, Банахтың тұрақты нүкте теоремасының ерекше жағдайы болып табылады. Хироси Окамура бастапқы шарттар мәселесінің шешімінің бірегей болуы үшін қажетті және жеткілікті шартты алды. Бұл шарт жүйе үшін Лияпунов функциясының болуымен байланысты. Кейбір жағдайларда f функциясы C1 класына жатпайды, тіпті Липшиц шартын да қанағаттандырмайды, сондықтан бірегей шешімнің жергілікті түрде бар екендігін кепілдендіретін стандартты нәтиже қолданылмайды. Алайда, Пеаноның барлық шешімдер теоремасы f функциясы үздіксіз болса да, шешімдердің жергілікті түрде уақыт бойынша бар екендігін дәлелдейді; мәселе бірегейліктің кепілдігінің болмауында. Бұл нәтиже Coddington & Levinson (1955, Теорема 1.3) немесе Robinson (2001, Теорема 2.6) еңбектерінде кездеседі. Одан да жалпы нәтиже – Каратеодоридің барлық шешімдер теоремасы, ол кейбір үзілісті f функциялары үшін барлық шешімдерді дәлелдейді.
The Picard–Lindelöf theorem guarantees a unique solution on some interval containing t0 if f is continuous on a region containing t0 and y0 and satisfies the Lipschitz condition on the variable y. The proof of this theorem proceeds by reformulating the problem as an equivalent integral equation. The integral can be considered an operator which maps one function into another, such that the solution is a fixed point of the operator. The Banach fixed point theorem is then invoked to show that there exists a unique fixed point, which is the solution of the initial value problem. An older proof of the Picard–Lindelöf theorem constructs a sequence of functions which converge to the solution of the integral equation, and thus, the solution of the initial value problem. Such a construction is sometimes called "Picard's method" or "the method of successive approximations". This version is essentially a special case of the Banach fixed point theorem. Hiroshi Okamura obtained a necessary and sufficient condition for the solution of an initial value problem to be unique. This condition has to do with the existence of a Lyapunov function for the system. In some situations, the function f is not of class C1, or even Lipschitz, so the usual result guaranteeing the local existence of a unique solution does not apply. The Peano existence theorem however proves that even for f merely continuous, solutions are guaranteed to exist locally in time; the problem is that there is no guarantee of uniqueness. The result may be found in Coddington & Levinson (1955, Theorem 1.3) or Robinson (2001, Theorem 2.6). An even more general result is the Carathéodory existence theorem, which proves existence for some discontinuous functions f.