Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
Тип задачи исчисления
Type of calculus problem
В многомерном исчислении задача с начальными условиями (IVP) — это обыкновенное дифференциальное уравнение вместе с начальным условием, которое задает значение неизвестной функции в заданной точке области определения. Моделирование системы в физике или других науках часто сводится к решению задачи с начальными условиями. В этом контексте дифференциальное уравнение с начальными условиями — это уравнение, которое описывает, как система изменяется во времени, исходя из начальных условий задачи.
In multivariable calculus, an initial value problem (IVP) is an ordinary differential equation together with an initial condition which specifies the value of the unknown function at a given point in the domain. Modeling a system in physics or other sciences frequently amounts to solving an initial value problem. In that context, the differential initial value is an equation which specifies how the system evolves with time given the initial conditions of the problem.
Существование и уникальность решений
Теорема Пикара — Линделёфа гарантирует единственное решение на некотором интервале, содержащем t0, если f непрерывна в области, содержащей t0 и y0, и удовлетворяет условию Липшица по переменной y. Доказательство этой теоремы начинается с переформулировки задачи в виде эквивалентного интегрального уравнения. Интеграл можно рассматривать как оператор, отображающий одну функцию в другую, так что решение является неподвижной точкой этого оператора. Затем применяется теорема о неподвижной точке Банаха, чтобы показать, что существует единственная неподвижная точка, которая и является решением задачи с начальными условиями. Более раннее доказательство теоремы Пикара — Линделёфа строит последовательность функций, сходящуюся к решению интегрального уравнения, а следовательно, и к решению задачи с начальными условиями. Такая конструкция иногда называется «методом Пикара» или «методом последовательных приближений». Эта версия по сути является частным случаем теоремы о неподвижной точке Банаха. Хироси Окамура получил необходимое и достаточное условие для единственности решения задачи с начальными условиями, связанное с существованием функции Ляпунова для системы. В некоторых случаях функция f не принадлежит классу C1 или даже классу Липшица, поэтому обычный результат, гарантирующий локальное существование единственного решения, неприменим. Однако теорема о существовании Пеано доказывает, что даже если f лишь непрерывна, решения гарантированно существуют локально по времени; проблема заключается в отсутствии гарантии единственности. Этот результат можно найти в Coddington & Levinson (1955, теорема 1.3) или Robinson (2001, теорема 2.6). Еще более общим результатом является теорема о существовании Каратеодори, которая доказывает существование решений для некоторых разрывных функций f.
The Picard–Lindelöf theorem guarantees a unique solution on some interval containing t0 if f is continuous on a region containing t0 and y0 and satisfies the Lipschitz condition on the variable y. The proof of this theorem proceeds by reformulating the problem as an equivalent integral equation. The integral can be considered an operator which maps one function into another, such that the solution is a fixed point of the operator. The Banach fixed point theorem is then invoked to show that there exists a unique fixed point, which is the solution of the initial value problem. An older proof of the Picard–Lindelöf theorem constructs a sequence of functions which converge to the solution of the integral equation, and thus, the solution of the initial value problem. Such a construction is sometimes called "Picard's method" or "the method of successive approximations". This version is essentially a special case of the Banach fixed point theorem. Hiroshi Okamura obtained a necessary and sufficient condition for the solution of an initial value problem to be unique. This condition has to do with the existence of a Lyapunov function for the system. In some situations, the function f is not of class C1, or even Lipschitz, so the usual result guaranteeing the local existence of a unique solution does not apply. The Peano existence theorem however proves that even for f merely continuous, solutions are guaranteed to exist locally in time; the problem is that there is no guarantee of uniqueness. The result may be found in Coddington & Levinson (1955, Theorem 1.3) or Robinson (2001, Theorem 2.6). An even more general result is the Carathéodory existence theorem, which proves existence for some discontinuous functions f.