Жергілікті өріс кеңейтімдерінің Галуа тобының сүзілуі
Ramification group
Жергілікті өріс кеңейтімдерінің Галуа тобының сүзілуі, сан теориясы, жергілікті сыныптар теориясы, тармақтану топтары, және кеңейтімдердің құрылымы туралы мағлұмат.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Жергілікті өріс кеңеюінің Галуа тобының сүзгіленуі
Filtration of the Galois group of a local field extension
Сандар теориясында, әсіресе жергілікті сыныптар өрісі теориясында, тармақтану топтары – жергілікті өріс кеңеюінің Галуа тобының сүзгісі болып табылады, және кеңеюдің тармақтану құбылыстары туралы толыққанды ақпарат береді.
In number theory, more specifically in local class field theory, the ramification groups are a filtration of the Galois group of a local field extension, which gives detailed information on the ramification phenomena of the extension.
Бағалаудың салалық теориясы
Математикада бағалаулардың тармақтану теориясы өріс K-ның v бағалауының K-ның L кеңейтуіне дейінгі кеңейтулер жиынтығын зерттейді. Бұл Дедекинд домендерінің тармақтану теориясының жалпыламасы. L/K Галуа кеңейтуі болғанда, кеңейтулер жиынтығының құрылымы жақсырақ зерттелген.
In mathematics, the ramification theory of valuations studies the set of extensions of a valuation v of a field K to an extension L of K. It is a generalization of the ramification theory of Dedekind domains. The structure of the set of extensions is known better when L/K is Galois.
Озықсыздық тобы және ыдырау тобы
(K, v) бағаланған өріс болсын және L – K-нің шекті Галуа кеңейтуі болсын. Sv – v-ден L-ге дейінгі кеңейтулердің эквиваленттілік сыныптарының жиыны болсын, ал G – L-дің K-ге дейінгі Галуа тобы болсын. Онда G, σ[w] = [w ∘ σ] арқылы Sv-ге әрекет етеді (яғни w – [w] ∈ Sv эквиваленттілік сыныбының өкілі және [w] w-нің автоморфизм σ : L → L арқылы құрамының эквиваленттілік сыныбына жіберіледі; бұл [w] ішіндегі w таңдауына тәуелсіз). Шындығында, бұл әрекет транзитивті. v-нің L-ге дейін w тұрақты кеңеюі берілген болса, w-нің ыдырау тобы – [w]-нің стабилизаторы Gw кіші тобы болып табылады, яғни ол [w] ∈ Sv эквиваленттілік сыныбын бекітетін G кіші тобының барлық элементтерінен тұрады. mw – w-нің Rw бағалау сақинасындағы w-нің ең үлкен идеалы болсын. w-нің инерция тобы – Gw-дің Iw кіші тобы, ол барлық x ∈ Rw үшін σx ≡ x (mod mw) шартын қанағаттандыратын элементтерден тұрады. Басқаша айтқанда, Iw – w-нің қалдық өрісіне тривиальды әсер ететін ыдырау тобының элементтерінен тұрады. Бұл Gw-дің нормальді кіші тобы. Төмендетілген тармақталу индексі e(w/v) w-ден тәуелсіз және e(v деп белгіленеді. Сол сияқты, f(w/v) салыстырмалы дәрежесі де w-ден тәуелсіз және f(v деп белгіленеді.
Let (K, v) be a valued field and let L be a finite Galois extension of K. Let Sv be the set of equivalence classes of extensions of v to L and let G be the Galois group of L over K. Then G acts on Sv by σ[w] = [w ∘ σ] (i. e. w is a representative of the equivalence class [w] ∈ Sv and [w] is sent to the equivalence class of the composition of w with the automorphism σ : L → L; this is independent of the choice of w in [w]). In fact, this action is transitive. Given a fixed extension w of v to L, the decomposition group of w is the stabilizer subgroup Gw of [w], i. e. it is the subgroup of G consisting of all elements that fix the equivalence class [w] ∈ Sv. Let mw denote the maximal ideal of w inside the valuation ring Rw of w. The inertia group of w is the subgroup Iw of Gw consisting of elements σ such that σx ≡ x (mod mw) for all x in Rw. In other words, Iw consists of the elements of the decomposition group that act trivially on the residue field of w. It is a normal subgroup of Gw. The reduced ramification index e(w/v) is independent of w and is denoted e(v). Similarly, the relative degree f(w/v) is also independent of w and is denoted f(v).