Фильтрация группы Галуа локального расширения поля
Ramification group
Фильтрация группы Галуа локального расширения поля: теория разветвлений, локальная теория классов, расширения оценок. Математика, алгебра, теория чисел.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Фильтрация группы Галуа локального расширения поля
Filtration of the Galois group of a local field extension
В теории чисел, в частности в теории локальных классовых полей, группы ветвления представляют собой фильтрацию группы Галуа локального расширения поля, которая предоставляет детальную информацию о явлениях ветвления в этом расширении.
In number theory, more specifically in local class field theory, the ramification groups are a filtration of the Galois group of a local field extension, which gives detailed information on the ramification phenomena of the extension.
Теория разветвления оценок
В математике теория разветвления оценок изучает множество расширений оценки *v* поля *K* на расширение *L* поля *K*. Это обобщение теории разветвления областей Дедекинда. Структура множества расширений лучше изучена, когда *L/K* является расширением Галуа.
In mathematics, the ramification theory of valuations studies the set of extensions of a valuation v of a field K to an extension L of K. It is a generalization of the ramification theory of Dedekind domains. The structure of the set of extensions is known better when L/K is Galois.
Группа разложения и группа инерции
Пусть (K, v) – оцененное поле и пусть L – конечное расширение Галуа поля K. Пусть Sv – множество классов эквивалентности расширений v на L, а G – группа Галуа L над K. Тогда G действует на Sv по правилу σ[w] = [w ∘ σ] (т.е. w – представитель класса эквивалентности [w] ∈ Sv, и [w] переходит в класс эквивалентности композиции w с автоморфизмом σ : L → L; это не зависит от выбора w в [w]). На самом деле, это действие транзитивно. Для фиксированного расширения w поля v на L, группа разложения w является подгруппой стабилизатора Gw класса [w], то есть подгруппой G, состоящей из всех элементов, фиксирующих класс эквивалентности [w] ∈ Sv. Пусть mw – максимальный идеал расширения w в кольце оценки Rw расширения w. Группа инерции w – это подгруппа Iw группы Gw, состоящая из элементов σ, таких что σx ≡ x (mod mw) для всех x из Rw. Иными словами, Iw состоит из элементов группы разложения, которые действуют тривиально на поле вычетов w. Это нормальная подгруппа Gw. Индекс неразветвлённости e(w/v) не зависит от w и обозначается e(v). Аналогично, относительная степень f(w/v) также не зависит от w и обозначается f(v).
Let (K, v) be a valued field and let L be a finite Galois extension of K. Let Sv be the set of equivalence classes of extensions of v to L and let G be the Galois group of L over K. Then G acts on Sv by σ[w] = [w ∘ σ] (i. e. w is a representative of the equivalence class [w] ∈ Sv and [w] is sent to the equivalence class of the composition of w with the automorphism σ : L → L; this is independent of the choice of w in [w]). In fact, this action is transitive. Given a fixed extension w of v to L, the decomposition group of w is the stabilizer subgroup Gw of [w], i. e. it is the subgroup of G consisting of all elements that fix the equivalence class [w] ∈ Sv. Let mw denote the maximal ideal of w inside the valuation ring Rw of w. The inertia group of w is the subgroup Iw of Gw consisting of elements σ such that σx ≡ x (mod mw) for all x in Rw. In other words, Iw consists of the elements of the decomposition group that act trivially on the residue field of w. It is a normal subgroup of Gw. The reduced ramification index e(w/v) is independent of w and is denoted e(v). Similarly, the relative degree f(w/v) is also independent of w and is denoted f(v).