Кіріспе
Алгебрада, егер келесі эквивалентті шарттардың кез келгені орындалса, k өрісі кемелді болады: k үстіндегі әрбір ирредуктивті көпмүшенің кез келген өріс кеңейтуінде F/k, көптүрлі түбірі жоқ. K үстіндегі әрбір ирредуктивті көпмүшенің нөлдік емес формальды туындысы бар. K үстіндегі әрбір ирредуктивті көпмүше ажыратылатын болады. k-ның әрбір шекті кеңейтімі ажыратылады. k-ның әрбір алгебралық кеңейтімі ажыратылады. k-ның сипаттамасы 0-ге тең немесе k-ның сипаттамасы p > 0 болғанда, k-ның әрбір елемі p-ші дәрежеге көтерілгенге тең. k-ның сипаттамасы 0-ге тең немесе k-ның сипаттамасы p > 0 болғанда, Фробен эндоморфизмі k-ның автоморфизмі болып табылады. k-ның ажыратылатын жабылуы алгебралық жабық өріс болады. Кез келген кемітілген коммутативті k-алгебрасы A – ажыратылатын алгебра, яғни, кез келген өріс кеңейтуі F/k үшін кемітілген. (төменде қараңыз) Әйтпесе, k кемелсіз деп аталады. Атап айтқанда, барлық нөлдік сипаттамалы және барлық шекті өрістер кемелді. Кемел өрістер маңызды, себебі осы өрістердегі Галуа теориясы қарапайымдатылады, өйткені өріс кеңейтулерінің ажыратылуы туралы жалпы Галуа болжамы осы өрістерде автоматты түрде орындалады (жоғарыдағы үшінші шартты қараңыз). Кемел өрістердің тағы бір маңызды қасиеті – олар Витт векторларын қабылдайды. Жалпы алғанда, егер Фробен эндоморфизмі автоморфизм болса, p (p – жай сан) сипаттамалы сақина кемелді деп аталады. (Егер интегралдық домендермен шектелген болса, бұл жоғарыда көрсетілген «k-ның әрбір елемі p-ші дәрежеге көтерілгенге тең» деген шартқа эквивалентті.)
Every irreducible polynomial over k has no multiple roots in any field extension F/k. Every irreducible polynomial over k has non zero formal derivative. Every irreducible polynomial over k is separable. Every finite extension of k is separable. Every algebraic extension of k is separable. Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, every element of k is a pth power. Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, the Frobenius endomorphism is an automorphism of k.
The separable closure of k is algebraically closed. Every reduced commutative k algebra A is a separable algebra; i. e., is reduced for every field extension F/k. (see below)
Otherwise, k is called imperfect. In particular, all fields of characteristic zero and all finite fields are perfect. Perfect fields are significant because Galois theory over these fields becomes simpler, since the general Galois assumption of field extensions being separable is automatically satisfied over these fields (see third condition above). Another important property of perfect fields is that they admit Witt vectors. More generally, a ring of characteristic p (p a prime) is called perfect if the Frobenius endomorphism is an automorphism. (When restricted to integral domains, this is equivalent to the above condition "every element of k is a pth power".)
Толық өріс үстіндегі өріс кеңейтуі
Кез келген толық түзілген K өрісінің мінсіз өріс k үстінен кеңеюі бөлінетін түрде туындайды, яғни, K өрісін k(Γ) арқылы бөлінетін алгебралық кеңейтім етіп алатын трансценденттік негіз Γ бар.
Кемелсіз жабылу және кемелділік
Теңдес жағдайлардың бірі p сипаттамасында барлық p-ші түбірлермен (r ≥ 1) жалғасқан өріс толық екенін айтады; ол k-ның толық жабылуы деп аталады және әдетте символымен белгіленеді. Толық жабылу бөлінуге қабілеттілікті тексеру үшін қолданылуы мүмкін. Нақтырақ айтқанда, коммутативті k-алгебрасы A егер және тек қана азайтылған болса, бөлінеді. Универсалды қасиеттері тұрғысынан алғанда, p сипаттамасының A сақинасының толық жабылуы – бұл p сипаттамасының Ap сақинасы, u: A → Ap сақиналық гомоморфизмімен бірге, сонда v: A → B гомоморфизмімен сипаттамасының B кез келген басқа толық сақинасы үшін, f: Ap → B бірегей гомоморфизмі болады, мұнда v гомоморфизмі u арқылы факторланады (яғни v = fu). Толық жабылу әрқашан болады; дәлелдеу A элементтерінің p-ші түбірлерін қосуды қамтиды, бұл өрістер жағдайына ұқсас. A сақинасының кемелдеуі – бұл екі ұғымның дуалы (бірақ бұл термин кейде толық жабылу үшін де қолданылады). Басқаша айтқанда, A-ның кемелдеуі R(A) – бұл p сипаттамасының толық сақинасы, φ: B → A картасымен жабдықталған кез келген толық сақина B үшін, φ гомоморфизмі θ арқылы факторланатын f: B → R(A) бірегей картасы болады (яғни φ = θf). A-ның кемелдеуін келесідей құрастыруға болады. Келесі проективтік жүйені қарастырайық:
The perfect closure can be used in a test for separability. More precisely, a commutative k algebra A is separable if and only if is reduced. In terms of universal properties, the perfect closure of a ring A of characteristic p is a perfect ring Ap of characteristic p together with a ring homomorphism u : A → Ap such that for any other perfect ring B of characteristic p with a homomorphism v : A → B there is a unique homomorphism f : Ap → B such that v factors through u (i. e. 1=v = fu). The perfect closure always exists; the proof involves "adjoining p th roots of elements of A", similar to the case of fields. The perfection of a ring A of characteristic p is the dual notion (though this term is sometimes used for the perfect closure). In other words, the perfection R(A) of A is a perfect ring of characteristic p together with a map θ : R(A) → A such that for any perfect ring B of characteristic p equipped with a map φ : B → A, there is a unique map f : B → R(A) such that φ factors through θ (i. e. 1=φ = θf). The perfection of A may be constructed as follows. Consider the projective system
мұнда ауысу карталары Фробен эндоморфизмі болып табылады. Бұл жүйенің кері шегі R(A) болып табылады және ол барлық i үшін A элементтерінің тізбектерінен (x₀, x₁, ...) тұрады, мұнда болады. θ: R(A) → A картасы (xᵢ) тізбегін x₀-қа жібереді.