Введение
В алгебре, поле k является совершенным, если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:
Любой неприводимый многочлен над k не имеет кратных корней ни в одном расширении поля F/k. Любой неприводимый многочлен над k имеет ненулевую формальную производную. Любой неприводимый многочлен над k является разделимым. Любое конечное расширение k является разделимым. Любое алгебраическое расширение k является разделимым. Либо k имеет характеристику 0, либо, если k имеет характеристику p > 0, каждый элемент k является p-й степенью. Либо k имеет характеристику 0, либо, если k имеет характеристику p > 0, эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом k. Разделимое замыкание k алгебраически замкнуто. Каждая редуцированная коммутативная k-алгебра A является разделимой алгеброй; то есть, редуцирована для каждого расширения поля F/k. (см. ниже)
В противном случае k называется несовершенным. В частности, все поля характеристики ноль и все конечные поля являются совершенными. Совершенные поля важны, поскольку теория Галуа над этими полями становится проще, так как общее предположение Галуа о том, что расширения полей являются разделимыми, автоматически выполняется над этими полями (см. третье условие выше). Другое важное свойство совершенных полей заключается в том, что они допускают векторы Витта. В более общем смысле, кольцо характеристики p (p – простое число) называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом. (При ограничении интегральными областями это эквивалентно вышеуказанному условию «каждый элемент k является p-й степенью».)
Every irreducible polynomial over k has no multiple roots in any field extension F/k. Every irreducible polynomial over k has non zero formal derivative. Every irreducible polynomial over k is separable. Every finite extension of k is separable. Every algebraic extension of k is separable. Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, every element of k is a pth power. Either k has characteristic 0, or, when k has characteristic p > 0, the Frobenius endomorphism is an automorphism of k.
The separable closure of k is algebraically closed. Every reduced commutative k algebra A is a separable algebra; i. e., is reduced for every field extension F/k. (see below)
Otherwise, k is called imperfect. In particular, all fields of characteristic zero and all finite fields are perfect. Perfect fields are significant because Galois theory over these fields becomes simpler, since the general Galois assumption of field extensions being separable is automatically satisfied over these fields (see third condition above). Another important property of perfect fields is that they admit Witt vectors. More generally, a ring of characteristic p (p a prime) is called perfect if the Frobenius endomorphism is an automorphism. (When restricted to integral domains, this is equivalent to the above condition "every element of k is a pth power".)
Расширение поля над идеальным полем
Любое конечно порожденное расширение поля K над совершенным полем k является сепарабельно порожденным, то есть допускает разделяющую трансцендентную базу, то есть такую трансцендентную базу Γ, что K сепарабельно алгебраична над k(Γ).
Идеальное завершение и совершенство
Одно из эквивалентных условий гласит, что в характеристике p поле, присоединяющее все корни p-й степени (r ≥ 1), является совершенным; оно называется совершенным замыканием k и обычно обозначается как . Более точно, коммутативная k-алгебра A является разделимой тогда и только тогда, когда она редуцирована. С точки зрения универсальных свойств, совершенное замыкание кольца A характеристики p – это совершенное кольцо Ap характеристики p вместе с кольцевым гомоморфизмом u : A → Ap, таким что для любого другого совершенного кольца B характеристики p с гомоморфизмом v : A → B существует единственный гомоморфизм f : Ap → B, такой что v факторизуется через u (то есть v = fu). Совершенное замыкание всегда существует; доказательство включает "присоединение корней p-й степени элементов A", аналогично случаю полей. Совершенство кольца A характеристики p является двойным понятием (хотя этот термин иногда используется для обозначения совершенного замыкания). Иными словами, совершенство R(A) кольца A – это совершенное кольцо характеристики p вместе с отображением θ : R(A) → A, таким что для любого совершенного кольца B характеристики p, снабженного отображением φ : B → A, существует единственное отображение f : B → R(A), такое что φ факторизуется через θ (то есть φ = θf). Совершенство A может быть построено следующим образом. Рассмотрим проективную систему, где переходные отображения являются эндоморфизмом Фробениуса. Обратный предел этой системы – R(A) и состоит из последовательностей (x₀, x₁, …) элементов A, таких что xᵢ⁺¹ = F(xᵢ) для всех i. Отображение θ : R(A) → A посылает (xᵢ) в x₀.
The perfect closure can be used in a test for separability. More precisely, a commutative k algebra A is separable if and only if is reduced. In terms of universal properties, the perfect closure of a ring A of characteristic p is a perfect ring Ap of characteristic p together with a ring homomorphism u : A → Ap such that for any other perfect ring B of characteristic p with a homomorphism v : A → B there is a unique homomorphism f : Ap → B such that v factors through u (i. e. 1=v = fu). The perfect closure always exists; the proof involves "adjoining p th roots of elements of A", similar to the case of fields. The perfection of a ring A of characteristic p is the dual notion (though this term is sometimes used for the perfect closure). In other words, the perfection R(A) of A is a perfect ring of characteristic p together with a map θ : R(A) → A such that for any perfect ring B of characteristic p equipped with a map φ : B → A, there is a unique map f : B → R(A) such that φ factors through θ (i. e. 1=φ = θf). The perfection of A may be constructed as follows. Consider the projective system
where the transition maps are the Frobenius endomorphism. The inverse limit of this system is R(A) and consists of sequences (x0, x1, ) of elements of A such that for all i. The map θ : R(A) → A sends (xi) to x0.