Коммутативті алгебрадағы реттеуші жергілікті сақиналар

Кіріспе

Коммутативтік алгебрада, тұрақты жергілікті сақина — максималды идеалының минималды генераторларының саны оның Крулл өлшеміне тең болатын Нотер жергілікті сақина. Символдармен белгілесек, A — максималды идеалы m болатын Нотер жергілікті сақина, ал a1, ..., an — m генераторларының минималды жиынтығы болсын. Онда Круллдың негізгі идеал теоремасы бойынша n ≥ dim A, ал A, егер n = dim A болса, тұрақты деп анықталады. «Тұрақты» деген атау геометриялық мағынасымен дәлелденеді. Алгебралық сан алуандығы X-тегі x нүктесі, егер және тек қана x нүктесіндегі жергілікті сақина тұрақты болса, сингуляр емес болып табылады. (Сондай-ақ қараңыз: тұрақты схема.) Тұрақты жергілікті сақиналар, фон Нейман тұрақты сақиналарымен байланысты емес. Нотер жергілікті сақиналар үшін келесі кіріктірулер тізбегі бар:

Мысалдар

Әрбір өріс – тұрақты жергілікті сақина. Бұлардың (Крулл) өлшемі 0-ге тең. Шындығында, өрістер – дәл 0 өлшемді тұрақты жергілікті сақиналар. Кез келген дискретті бағалау сақинасы – 1 өлшемді тұрақты жергілікті сақина, ал 1 өлшемді тұрақты жергілікті сақиналар – дәл дискретті бағалау сақиналары. Атап айтқанда, егер k өріс болса және X белгісіз болса, онда k формальды қуат қатарларының сақинасы 1 өлшемді (Крулл) тұрақты жергілікті сақина болып табылады. Егер p қарапайым сан болса, p-адық бүтін сандар сақинасы дискретті бағалау сақинасының мысалы болып табылады, соның салдарынан, өрісті қамтымайтын тұрақты жергілікті сақина. Жалпы алғанда, егер k өріс болса және X1, X2, …, Xd белгісіздер болса, онда формальды қуат қатарларының k сақинасы (Крулл) өлшемі d тұрақты жергілікті сақина болып табылады. Егер A тұрақты жергілікті сақина болса, онда формальды қуат қатарларының A сақинасы тұрақты жергілікті болады. Егер Z – бүтін сандар сақинасы болса және X белгісіз болса, онда Z[X](2, X) сақинасы (яғни Z[X] сақинасы негізгі идеалға (2, X) локализацияланған) – өрісті қамтымайтын 2 өлшемді тұрақты жергілікті сақинаның мысалы. Ирвин Коэннің құрылым теоремасы бойынша, k өрісін қамтитын d өлшемді толық тұрақты жергілікті сақина, k кеңейтім өрісі бойынша d айнымалыдағы қуат қатарларының сақинасы болып табылады.

Үлгі емес

Сақина, шекті өлшемді болғанымен, шекті жаһандық өлшемге ие болмағандықтан, тұрақты жергілікті сақина емес. Мысалы, шексіз ажыратым бар. Басқа бір сипаттаманы пайдалансақ, дәл бір жай идеалға ие, сондықтан сақинаның Крулл өлшемі бар, бірақ нөлдік идеал болғандықтан, өлшемі кем дегенде болады (іс жүзінде ол тең, себебі – негіз болып табылады).

Негізгі ұғымдардың пайда болуы

Тұрақты жергілікті сақиналарды алғаш рет 1937 жылы Вольфганг Крулл анықтаған, бірақ олар бірнеше жылдан кейін Оскар Зарискидің еңбектерінде маңызға ие болды, ол геометриялық тұрғыдан тұрақты жергілікті сақинаның алгебралық сан түрленуіндегі тегіс нүктеге сәйкес келетінін көрсетті. Y – толық өріс үстіндегі аффиндік n кеңістігінде орналасқан алгебралық сан түрленуі болсын, ал Y – f1, …, fm көпмүшелерінің нөлдік жиыны деп есептейік. Y, P нүктесінде егер Якоби шартын қанағаттандырса, бірліксіз болады: егер M = (∂fi/∂xj) – сан түрленуін анықтайтын теңдеулердің ішінара туындыларының матрицасы болса, онда M матрицасын P нүктесінде есептеген кезде алынған матрицаның ранкі n – dim Y-ге тең болады. Зариски Y-дің P нүктесінде бірліксіз екенін дәлелдеді, егер және тек қана Y-дің P нүктесіндегі жергілікті сақинасы тұрақты болса. (Зариски бұл толық емес өрістерде орындалмауы мүмкін екенін атап өтті.) Бұл тегіс сан түрленуінің ішкі қасиеті екенін білдіреді, яғни ол сан түрленуінің аффиндік кеңістікте қалай және қайда орналасқанына тәуелді емес. Сондай-ақ, тұрақты жергілікті сақиналардың жақсы қасиеттері болуы керек екені ұсынылады, бірақ гомологиялық алгебрадан алынған әдістер енгізілгенге дейін бұл бағытта аз ғана мәлімет болды. Мұндай әдістер 1950 жылдары енгізілгеннен кейін, Ауслендер мен Буксбаум әрбір тұрақты жергілікті сақинаның бірегей факторлау домені екенін дәлелдеді. Геометриялық интуициямен ұсынылған тағы бір қасиет – тұрақты жергілікті сақинаның локализациясы да тұрақты болуы керек. Бұл мәселе гомологиялық әдістер енгізілгенге дейін шешілмеген. Жан-Пьер Серре тұрақты жергілікті сақиналардың гомологиялық сипаттамасын тапты: жергілікті сақина А егер және тек қана А шекті жаһандық өлшемге ие болса, яғни әрбір А модулі шекті ұзындықтағы проективтік шешімге ие болса, тұрақты болады. Соңғы жаһандық өлшемге ие болу қасиеті локализация кезінде сақталады және демек, тұрақты жергілікті сақиналардың негізгі идеалдардағы локализациялары да тұрақты болады. Бұл келесі бөлімде берілген жергілікті емес коммутативті сақиналар үшін тұрақтылықтың анықтамасын негіздейді.

Regular local rings were originally defined by Wolfgang Krull in 1937, but they first became prominent in the work of Oscar Zariski a few years later, who showed that geometrically, a regular local ring corresponds to a smooth point on an algebraic variety. Let Y be an algebraic variety contained in affine n space over a perfect field, and suppose that Y is the vanishing locus of the polynomials f1, ,fm. Y is nonsingular at P if Y satisfies a Jacobian condition: If M = (∂fi/∂xj) is the matrix of partial derivatives of the defining equations of the variety, then the rank of the matrix found by evaluating M at P is n − dim Y. Zariski proved that Y is nonsingular at P if and only if the local ring of Y at P is regular. (Zariski observed that this can fail over non perfect fields.) This implies that smoothness is an intrinsic property of the variety, in other words it does not depend on where or how the variety is embedded in affine space. It also suggests that regular local rings should have good properties, but before the introduction of techniques from homological algebra very little was known in this direction. Once such techniques were introduced in the 1950s, Auslander and Buchsbaum proved that every regular local ring is a unique factorization domain. Another property suggested by geometric intuition is that the localization of a regular local ring should again be regular. Again, this lay unsolved until the introduction of homological techniques. It was Jean Pierre Serre who found a homological characterization of regular local rings: A local ring A is regular if and only if A has finite global dimension, i. e. if every A module has a projective resolution of finite length. It is easy to show that the property of having finite global dimension is preserved under localization, and consequently that localizations of regular local rings at prime ideals are again regular. This justifies the definition of regularity for non local commutative rings given in the next section.