Введение

В коммутативной алгебре, регулярное локальное кольцо — это ноэтерианское локальное кольцо, обладающее свойством, что минимальное число образующих его максимального идеала равно его размерности Крулля. Обозначим A ноэтерианским локальным кольцом с максимальным идеалом m, и пусть a₁, …, aₙ — минимальный набор образующих m. Тогда, согласно основной теореме Крулля об идеалах, n ≥ dim A, и кольцо A называется регулярным, если n = dim A. Название "регулярное" оправдано его геометрическим смыслом. Точка x на алгебраическом многообразии X является несингулярной тогда и только тогда, когда локальное кольцо ростков в точке x является регулярным. (См. также: регулярная схема.) Регулярные локальные кольца не связаны с кольцами фон Неймана. Для ноэтерианских локальных колец существует следующая цепочка включений:

Примеры

Каждое поле является регулярным локальным кольцом. Они имеют (Крулль) размерность 0. Фактически, поля — это как раз регулярные локальные кольца размерности 0. Любое кольцо дискретного нормирования является регулярным локальным кольцом размерности 1, а регулярные локальные кольца размерности 1 — это как раз кольца дискретного нормирования. В частности, если k — поле, а X — неопределённая, то кольцо формальных степенных рядов k является регулярным локальным кольцом, имеющим (Крулль) размерность 1. Если p — простое число, то кольцо p-адических целых чисел является примером кольца дискретного нормирования, и, следовательно, регулярного локального кольца, не содержащего поля. В более общем случае, если k — поле, а X₁, X₂, …, Xd — неопределённые, то кольцо формальных степенных рядов k является регулярным локальным кольцом, имеющим (Крулль) размерность d. Если A — регулярное локальное кольцо, то следует, что кольцо формальных степенных рядов A является регулярным локальным кольцом. Если Z — кольцо целых чисел, а X — неопределённая, то кольцо Z[X]₂(2, X) (то есть кольцо Z[X], локализованное в простом идеале (2, X)) является примером двухмерного регулярного локального кольца, не содержащего поля. По теореме о структуре Ирвина Коэна, полное регулярное локальное кольцо размерности Крулля d, содержащее поле k, является кольцом степенных рядов в d переменных над полем расширения k.

Непримеры

Кольцо не является обычным локальным кольцом, поскольку оно конечномерно, но не имеет конечной глобальной размерности. Например, существует бесконечное разрешение. Используя другую из характеристик, кольцо имеет ровно один простой идеал, поэтому размерность Крулла кольца равна , но является нулевым идеалом, следовательно, размерность кольца не меньше (на самом деле она равна , поскольку является базисом).

Происхождение основных понятий

Регулярные локальные кольца были первоначально определены Вольфгангом Круллом в 1937 году, но они впервые приобрели известность в работах Оскара Зариски спустя несколько лет, который показал, что геометрически регулярное локальное кольцо соответствует гладкой точке на алгебраическом многообразии. Пусть Y — алгебраическое многообразие, содержащееся в аффинном n-пространстве над совершенным полем, и предположим, что Y является нуль-множеством многочленов f1, …, fm. Многообразие Y несингулярно в точке P, если оно удовлетворяет якобиану условию: если M = (∂fi/∂xj) — матрица частных производных определяющих уравнений многообразия, то ранг матрицы, полученной при вычислении M в точке P, равен n − dim Y. Зариски доказал, что Y несингулярно в P тогда и только тогда, когда локальное кольцо Y в P является регулярным. (Зариски отметил, что это может не выполняться над несовершенными полями.) Это означает, что гладкость является внутренним свойством многообразия, то есть не зависит от того, где или как многообразие вложено в аффинное пространство. Это также наводит на мысль, что регулярные локальные кольца должны обладать хорошими свойствами, но до введения методов гомологической алгебры в этом направлении было известно очень мало. После того, как эти методы были введены в 1950-х годах, Ауслендер и Буксбаум доказали, что каждое регулярное локальное кольцо является областью однозначной факторизации. Другое свойство, подсказанное геометрической интуицией, заключается в том, что локализация регулярного локального кольца должна снова быть регулярной. И это также оставалось нерешенным до введения гомологических методов. Именно Жан-Пьер Серр нашёл гомологическую характеристику регулярных локальных колец: локальное кольцо A является регулярным тогда и только тогда, когда A имеет конечное глобальное измерение, то есть каждый A-модуль имеет проективное разрешение конечной длины. Легко показать, что свойство иметь конечное глобальное измерение сохраняется при локализации, и, следовательно, локализации регулярных локальных колец по простым идеалам снова являются регулярными. Это обосновывает определение регулярности для нелокальных коммутативных колец, данное в следующем разделе.