Кіріспе
Математикалық теңдеу e, i және pi арасындағы байланыс
Математикада Эйлер сәйкестігі (Эйлер теңдеуі деп те аталады) – мына теңдік:
мұндағы
– Эйлер саны, табиғи логарифмдердің негізі,
– ойқас бірлік, ол анықтама бойынша қанағаттандырады , және
– пи, шеңбердің ұзындығының диаметріне қатынасы. Эйлер сәйкестігі швейцариялық математик Леонхард Эйлердің есімімен аталған. Бұл Эйлер формуласының ерекше жағдайы, Эйлер сәйкестігі үшін есептелгенде ол математикадағы ең негізгі сандар арасындағы терең байланысты көрсететін математикалық әдеміліктің үлгісі болып саналады. Бұдан өзге, ол тікелей трансцендентті санды дәлелдеуде қолданылады, яғни шеңберді шаршылап салу мүмкін емес екенін көрсетеді.
is Euler's number, the base of natural logarithms,
is the imaginary unit, which by definition satisfies , and
is pi, the ratio of the circumference of a circle to its diameter. Euler's identity is named after the Swiss mathematician Leonhard Euler. It is a special case of Euler's formula when evaluated for Euler's identity is considered to be an exemplar of mathematical beauty as it shows a profound connection between the most fundamental numbers in mathematics. In addition, it is directly used in a proof that is transcendental, which implies the impossibility of squaring the circle.
Геометриялық түсіндіру
Кез келген күрделі санды күрделі жазықтықтағы нүкте арқылы көрсетуге болады. Бұл нүкте полярлық координаттармен де бейнеленуі мүмкін , мұнда r – z-ның абсолюттік мәні (түп-нүктеден қашықтық) және – z-ның аргументі (оң x-осінен қарсы сағат тіліне қарсы бұрыш). Синус пен косинус анықтамасы бойынша, бұл нүктеде Картезиандық координаттар бар , демек, Эйлер формуласына сәйкес, бұл . Эйлер сәйкестігі мынаны айтады: . r = 1 және болғандықтан, мұны күрделі жазықтықтағы −1 саны туралы факт ретінде түсіндіруге болады: оның түп-нүктеден қашықтығы 1, ал оң x-осінен бұрышы радиан. Сонымен қатар, кез келген күрделі сан z-ны -ке көбейту күрделі жазықтықта z-ді радиан бұрышқа қарсы сағат тіліне айналдырады. −1-ге көбейту түп-нүктеге қатысты нүктенің бейнелеуін жасаса, Эйлер сәйкестігін кез келген нүктені радианға айналдыру түп-нүктеге қатысты нүктенің бейнелеуімен бірдей әсер етеді деп түсіндіруге болады. Сол сияқты, теңдеуге тең қою байланысты теңдеуді береді, оны кез келген нүктені түп-нүкте бойынша бір толық айналдыру оны бастапқы орнына қайтарады деп түсіндіруге болады.
Euler's identity says that Since is for r = 1 and , this can be interpreted as a fact about the number −1 on the complex plane: its distance from the origin is 1, and its angle from the positive x axis is radians. Additionally, when any complex number z is multiplied by , it has the effect of rotating z counterclockwise by an angle of on the complex plane. Since multiplication by −1 reflects a point across the origin, Euler's identity can be interpreted as saying that rotating any point radians around the origin has the same effect as reflecting the point across the origin. Similarly, setting equal to yields the related equation which can be interpreted as saying that rotating any point by one turn around the origin returns it to its original position.
Тарих
Ойлер сәйкестігі 1748 жылы оның математикалық талдау бойынша монументалды еңбегінде, "Analysin infinitorum-ға кіріспе" (Introductio in analysin infinitorum) басылымда жарияланған Ойлер формуласының тікелей салдары болып табылады. Алайда, бес маңызды тұрақтыны ықшам түрде байланыстыру идеясының Ойлердің өзіне тиесілігі күмәнді, өйткені ол оны ешқашан жазбада көрсетпеген болуы мүмкін. Робин Уилсон былай деп мәлімдейді.